曹进德 宋强 刘芳 程尊水

1 东南大学 数学学院，南京,210096 2 南通大学 电气工程学院，南通,226019 3 黄淮学院 信息工程学院，驻马店,463000 4 河南省智能机器人行为优化控制国际联合实验室，驻马店,463000 5 青岛科技大学 数理学院，青岛,266061

0 引言

现实生活中的互联网、交通网、航空网、电力网、生物网和无线传感器网等网络系统都可用复杂网络进行建模和分析[1-5].因此，在过去的几十年里，复杂网络引起了学者们的浓厚兴趣并得到了深入研究.1960年Erdös和Rényi开创了随机图理论，为随机复杂网络的研究提供了理论支撑[6]；1998年Watts和Strogatz提出了小世界网络模型，分析了网络的小世界效应[7]；1999年Barabási建立了无标度网络模型，揭示了复杂网络的幂律特性[8].无疑，这些开创性工作为复杂网络研究奠定了坚实基础并促进了复杂网络研究的飞速发展.

由于复杂网络在现实生活中广泛存在，关于复杂网络的同步控制问题的研究成为网络科学的一个重要研究课题.复杂网络的同步可分为有领导者和无领导者两种.有些网络仅利用相邻节点的信息，在某些条件下可使整个网络涌现出同步现象，称为无领导者情形下的同步[9-13].但是，多数复杂网络仅依赖节点的信息交互自身无法达到同步，针对这些复杂网络，可设计合适的分布式控制器，驱使网络同步于某一领导者的状态 (平衡点、混沌轨线或孤立节点等).复杂网络这种在外部控制作用下的同步行为可被称作有领导者情形下的同步[14-50].

现有研究成果表明,仅对少数关键节点施加控制,可使网络所有节点的状态趋于一致,这种策略被称为牵制控制(pinning control).牵制控制策略无疑可大大降低复杂网络的控制成本,提高经济效益,具有较高的理论和应用价值.Wang等[14]首次采用牵制控制策略,成功实现了无标度网络的控制；Li等[15]提出了“虚拟控制”(virtual control)的概念，通过讨论控制信号在网络中的传播，揭示了复杂网络牵制控制的机理；Chen等[21]指出,当牵制控制增益足够大时,可以控制一个节点来实现对整个复杂网络的控制.

在复杂网络的牵制控制中,首先要解决的问题是牵制节点的选取,即控制应该施加在哪些节点上.对此,学者们对不同网络提出了相应的节点选取方法,发现对无标度网络,应首先牵制度数大的节点；而对随机网络,牵制度大的节点和随机选取牵制节点并没有明显区别[14-15]；当耦合强度比较小时,牵制度较小的节点效果也可能会更好[16-17].由于耦合矩阵的不对称性，有向网络的牵制节点选取比较困难，若网络的拓扑包含一条有向生成树，根节点必须被选为牵制节点[21]；否则，可对网络拓扑进行强连通分解，然后研究牵制节点的选取[22-23].

最初的牵制控制方法往往要求网络的牵制增益和耦合强度足够大,因而会使得控制成本较高，该方法在现实中难以实现.Song等[29]利用M矩阵理论证明,选取较大的牵制控制增益可使网络的牵制控制更容易实现,但牵制控制增益达到某临界值时,增加牵制控制增益并不能有效地提高牵制控制的性能.因此,对于一个复杂态网络,如何避免牵制控制增益及耦合强度过大、牵制节点数目过多，或者说,如何在牵制控制增益、耦合强度和牵制节点数目之间寻求一种平衡,仍然值得深入研究.

十多年来，复杂网络的牵制控制已得到了较为深入的研究.无向复杂网络的牵制控制研究已较为成熟[14-20]，有向复杂网络的牵制控制研究也产出了较为丰硕的成果[21-32]，时滞复杂网络的牵制控制[33-38]和切换拓扑下复杂网络的牵制控制[42,49-50]取得了一些进展，具有正负连边符号图拓扑的复杂网络的牵制控制近年来引起了人们较大的研究兴趣[51-55],复杂网络的牵制控制在实际中也具有一定的应用前景[56-60].

本文旨在概述复杂网络牵制控制的研究进展，主要包括牵制控制条件、牵制节点选取、影响网络牵制控制的因素、符号复杂网络牵制控制、牵制控制算法、牵制控制的应用.最后，总结现有结论，给出复杂网络牵制控制研究的一些未来研究方向.

1 基础知识

具有N个节点的复杂网络可用下式描述[14]：

(1)

其中xi=(xi1,…,xin)T为网络节点i的状态变量；f:Rn→Rn是连续的向量函数；c为耦合强度；Γ∈Rn×n为节点间的内部耦合矩阵，本文中假设其为正定矩阵；aij为网络(1)的邻接矩阵A=(aij)N×N的元素,若从节点j到i(j≠i)有一条有向边，则aij>0,否则aij=0;对角元素aii=0,i=1,…,N;ui为节点i的控制信号.

(2)

复杂网络(2)的领导者节点为

(3)

对于复杂网络(2)，令V与Vpin⊂V分别为全部节点及牵制节点的集合，利用局部线性反馈，可为复杂网络(2)设计以下的牵制控制器[27]：

ui=-cdiΓ(xi-s),

(4)

其中di为牵制控制增益，若i∈Vpin，则di>0；否则di=0.

本文主要基于局部线性反馈控制算法(4)分析及讨论复杂网络(2)的牵制控制.

2 复杂网络全局牵制控制的条件

本节讨论复杂网络的全局牵制控制条件.

令ei=xi-s,i=1,…,N,考虑到拉普拉斯矩阵的耗散性质，从式(2)—(4)可得以下的误差系统：

i=1,…,N.

(5)

可将系统(5)写为矩阵形式：

(6)

其中

D=diag(d1,…,dN),

F(e,s)=(fT(e1+s)-fT(s),…,fT(eN+s)-fT(s))T.

研究结果表明，复杂网络牵制控制条件的表达形式与节点动力学性质密切相关，节点动力学满足QUAD或Lipschitz条件的复杂网络，其牵制控制条件可用代数不等式表达[16,21,26-28]；节点动力学满足扇区条件的复杂网络，其牵制控制条件可以采用低维的线性矩阵不等式进行描述[31-32].在本文中，为分析复杂网络(2)的牵制控制，对节点非线性函数做以下假设.

假设1[16]对于复杂网络(2)的非线性函数，假设存在一个正常数θ使得

(x-y)T(f(x)-f(y))≤θ(x-y)TΓ(x-y),∀x,y∈Rn.

以下关于网络拓扑及节点间连边的假设对牵制控制的研究至关重要.

假设2[26]对于网络(2)未被牵制控制的任何节点i∈VVpin，总存在一个牵制节点j∈Vpin，使得节点j到节点i存在一条有向路径，从而领导者节点(3)到网络(2)的任何节点都有一条有向路径.

假设2是实现复杂网络牵制控制的一个必要条件，否则网络(2)的某些节点状态无法受到领导者的直接或间接影响，导致网络不能实现牵制控制.

在满足假设1和2的前提下，为研究网络(2)的全局牵制控制条件，目前文献主要采用以下两种方法：

一种是基于未被牵制的网络节点对应的拉普拉斯矩阵的子矩阵构造一个对称矩阵，然后利用该矩阵的最大特征值给出网络的牵制控制条件[16,26-27]：

(7)

其中矩阵H是矩阵(L+LT)/2中由未被牵制节点构成的子矩阵.

另一种则是把拉普拉斯矩阵L与牵制反馈增益矩阵D构成矩阵L+D，再利用L+D所有特征值的最小实部和M矩阵理论研究复杂网络牵制控制条件[28]：

(8)

从条件(7)和(8)可见，复杂网络牵制控制的条件与网络拓扑、节点动力学及耦合强度等因素密切相关.特别需要指出的是，文献[29]利用M矩阵理论证明，假设1可保证矩阵L+D的特征值均在右半开平面；而优先控制出度大于入度的节点，并适当选取牵制控制增益条件，假设1可保证矩阵(L+LT)/2的特征值皆为正数(具体请参见文献[29]的Proposition 4).

在复杂网络牵制控制条件的推导中，涉及的主要数学工具是代数图理论和Lyapunov稳定性理论[16-30]，对于具有时滞复杂网络可构造适当的Lyapunov-Krasovskii函数进行分析[33-38].

3 牵制节点的选取策略

在复杂网络牵制控制的研究中，最关键的一个科学问题是如何有效地选取一组合适的牵制节点，即需要施加控制信号的节点.本节概述复杂网络牵制节点选取策略的一些主要研究成果.

3.1 牵制节点选取的总体原则

为实现复杂网络的牵制控制，领导者必须直接或间接影响到网络的所有节点，使得网络节点和领导者共同构成的图必须含有一条有向生成树，且领导者为唯一的根节点[21].不难发现，第2节中的假设2可以保证牵制节点的选取原则得到满足.

3.2 无向网络的牵制节点选取

对于连通的无向网络，一般采用随机选取或特定选取两种方式选择牵制节点[14-15].一般地说，优先牵制度大的节点控制性能要好，这对无标度网络是成立的.但是，对随机网络,牵制度大的节点和随机选取牵制节点并没有明显区别.当耦合强度比较小时,牵制度小的节点效果反而更好[16-17].

当无向网络的拓扑不连通时，网络拓扑由多个连通的子图构成，针对每个子图采用随机或特定的方式选取牵制节点，那么牵制节点的集合即为所有子图牵制节点集合的并集.

3.3 有向网络的牵制节点选取

与无向网络比较，有向网络由于耦合矩阵的不对称性，牵制节点的选取更具挑战性.下面介绍一下有向网络牵制节点选取研究取得的一些成果.

如果网络拓扑包含一条有向生成树，根节点必须被选为牵制节点[21-22].尤其需要指出的是，在耦合强度足够大的情况下，对一个根节点施加控制即可实现网络的牵制控制[21].

对于不包含有向生成树的有向网络，牵制节点的选取较为困难.Wu[22-23]指出牵制控制必须施加到每一组有向树的根节点；Lu等[25]定义了Control Rank(CR)概念，指出应优先牵制CR大的节点；Lu等[26]根据拓扑强连通部分和M矩阵理论，研究了牵制节点选取；Song等[27]综合考虑节点的出度及入度，指出应优先牵制那些出度大于入度的节点；Song等[28-29]利用M矩阵理论，把拓扑分解为最小数目的子图，提出了一些牵制节点的选取策略.最近，Cheng等[30]基于左Perron特征向量研究牵制节点的选取，发现前一个牵制节点选定以后,后一个牵制节点应选取与前面所有牵制节点距离最远的节点；或者说,较为有效的牵制策略应该是使得牵制节点均匀分布在整个网络中[30].

下面以网络进行强连通分解为例讨论牵制节点的选取，对于不包含有向生成树的有向网络，其拉普拉斯矩阵为可约矩阵且具有以下的Frobenius标准形式[22-23]：

(9)

其中P为置换矩阵，Bi(i=1,…,k+m)皆为不可约矩阵，0代表合适维数的零矩阵，1≤m

注意到矩阵L与B具有相同的特征值，因此可根据拉普拉斯矩阵L的Frobenius标准形式B矩阵对应的图研究复杂网络的牵制控制.从式(9)可看出，后m行矩阵Bi,i=k+1,…,k+m对应的子图都没有外部的入边，为满足第2节的假设2，每个子图Bi(i=k+1,…,k+m)的根节点必须被选为牵制节点.事实上，Bi,i=1,…,k+m对应的子图皆为强连通，这些子图中的每个节点皆为根节点，因此可对每个子图任意选取一个节点作为牵制节点.

进一步，对每一个强连通子图，可以选取出度大于入度的点优先牵制；对出度和入度相等的节点，可以用基于左Perron特征向量的办法顺序选取牵制节点的集合[30].

4 影响网络牵制控制的因素分析

影响复杂网络牵制控制的因素主要包括牵制节点个数、牵制控制增益、耦合强度及节点动力学等.

4.1 牵制节点个数的影响

为实现复杂网络的牵制控制，应至少控制最小数目的节点，对于含有一条有向生成树的网络，牵制节点的最小数目为1；对于具有一般拓扑的复杂网络，拉普拉斯矩阵为m-可约矩阵，其Frobenius标准形式由式(9)给出，牵制节点的最小数目为m，研究结果已表明，假设2条件满足情形下，拉普拉斯矩阵零特征值的代数重数恰好为m[22,26,28].

4.2 牵制控制增益的影响

牵制控制增益对复杂网络的牵制控制性能也具有较大的影响.早期的一些文献往往把牵制控制增益选得较大，2013年Song等[29]利用代数图理论、非负矩阵和M矩阵等工具，从理论上证明在满足第2节中假设2的前提下，增大牵制控制增益可使牵制控制更容易实现，但过大的牵制控制增益却不能有效地提高网络的牵制控制性能.尤其是当牵制控制增益足够大时，网络拉普拉斯矩阵与牵制控制增益矩阵共同构成的L+D矩阵的特征值最小实部将收敛于某一常数[29].为优化牵制控制增益，一些文献采用以下自适应算法[16,27]：

4.3 耦合强度的影响

耦合强度对复杂网络的牵制控制具有较大的影响.在满足第2节中假设2的前提下，从条件(7)和(8)可以看出，耦合强度越大，实现复杂网络牵制牵制的牵制节点数目就越少.特别需要指出的是，当网络拓扑包含一条有向生成树且耦合强度足够大的情形下，仅牵制一个根节点也可实现整个网络的牵制控制[21].

4.4 节点动力学的影响

从条件(7)和(8)可见节点的动力学特性对耦合强度对复杂网络的牵制控制也有影响.参数θ越小，实现网络牵制控制的牵制节点数目就越少，反之则需要牵制较多的网络节点.

如何在牵制节点数目、牵制控制增益及耦合强度之间寻找一个平衡,达到利用较小数目的节点和尽可能小的牵制增益,实现整个复杂网络的牵制控制,仍然是当前牵制控制的公开问题之一.

5 符号网络的牵制控制

近年来，具有正负连边的符号网络的分布式控制受到了广泛关注[51-55]，其中正边代表节点间的合作关系,而负边则表示节点间的竞争关系.符号网络的拓扑可被称为符号图，而常规网络的拓扑可被称为无符号图.

结构平衡符号网络在一定条件下会涌现出二分一致性(bipartite consensus)的群体行为，即一部分节点的状态收敛于某条轨线，而其余节点的状态则收敛于此轨线的负值[51-55].近年来，具有结构平衡图拓扑的复杂网络的牵制控制研究取得了一些进展，文献[53]研究了牵制控制下节点动力学满足Lipschitz条件的符号网络的二分同步；文献[54]研究了结构平衡符号图拓扑下Lur’e网络的二分同步问题，并设计了连续时间及采样控制的牵制控制算法；文献[55]利用牵制控制研究了时滞神经网络的二分同步问题，并考虑了节点时滞为可微或不可微的两种情形.

在研究结构平衡符号网络的牵制控制时，可首先确定牵制节点集合，通过坐标变换把符号图变换为常规图[51]，按照常规网络的牵制控制策略选取牵制节点.然后设计牵制控制增益，即确定领导者到牵制节点连边的正负符号，按结构平衡定义把节点集合分解为两个互斥的子集，领导者与其中一个子集的牵制节点如果连边皆为正，那么与另一子集中牵制节点的连边必须为负.

结构不平衡的符号网络的分布式研究结果较少，文献[52]利用根环的概念研究了符号网络的稳定性及二分区间一致性问题.

6 复杂网络的牵制控制算法

近年来，学者们对牵制控制算法(4)进行了扩展，提出了一些新的牵制控制算法.下面我们从控制理论的观点，对复杂网络牵制控制的主要算法进行适当归纳分类.

1)连续通信情形下的反馈牵制控制算法

目前，复杂网络的牵制控制算法大多是对牵制节点施加连续时间的局部反馈控制即节点间连续通信，主要形式为算法(4)，根据网络耦合项设计线性反馈或非线性反馈的分布式牵制控制器[14-37].注意到有些文献进一步提出了自适应的反馈牵制控制算法，对耦合强度、牵制反馈增益或网络连接权值进行在线调整[19-21].

2)间歇通信情形下的反馈牵制控制算法

连续时间反馈牵制控制算法的一个主要不足是网络节点需要连续通信.为减少领导者和牵制节点间的通信频次，有些学者提出了周期或非周期的间歇牵制控制算法，仅在一系列不连续的时间间隔内才对牵制节点施加反馈控制，而在其他时间间隔里牵制控制信号皆为零[38-39].下式给出周期间歇牵制控制下的复杂网络，其中ω为控制宽度，T为周期：

对于nT≤t

当nT+ω≤t<(n+1)T时，

3)基于采样数据的反馈牵制控制算法

考虑到控制理论中采样控制算法的优点，一些文献利用一系列采样时刻获取的网络节点采样数据，设计了周期或非周期的采样反馈牵制控制算法[40-41]，领导者仅在采样时刻才与牵制节点进行通信，从而大大减轻了网络的通信负荷，降低了复杂网络的牵制控制成本.基于采样数据牵制控制算法的复杂网络可描述如下：

t∈[nT,(n+1)T),i=1,…,N.

4)事件触发下的反馈牵制控制算法

近年一些文献把事件触发控制策略应用于复杂网络的牵制控制，根据局部节点信息定义适当的事件触发函数，提出事件触发下复杂网络的反馈牵制控制算法[42-43]，仅在事件触发时刻才启动牵制控制，从而极大地降低了通信和控制成本，算法如下：

5)脉冲牵制控制算法

一些学者采用脉冲控制策略设计了复杂网络的脉冲牵制控制算法，牵制节点的状态在一系列离散时刻按一定算法进行跳变[44-47].以下为文献[44]提出的复杂网络的脉冲牵制控制算法：

6)混合控制牵制控制算法

有些文献把多种不同的控制策略相互结合，提出了复杂网络的混合控制牵制控制算法，比如文献[48]把反馈控制和脉冲控制进行结合，实现了复杂网络的牵制控制.

7 网络牵制控制的应用

网络系统的牵制控制不仅具有较高的理论价值，同时也具有广泛的潜在应用前景.下面我们简要讨论一下网络牵制控制的一些相关实际应用.

1)辨识复杂网络的结构

考虑以下的复杂网络模型：

为辨识上述网络的拉普拉斯矩阵，文献[56]基于牵制控制的思想，提出相应的观测器网络：

2) 在电网中的应用

设ρi(t)为电网能量第i个存储单元的状态，文献[57]采用以下的牵制控制策略对ρi(t)进行调节：

其中ρr为领导者单元的状态.

3) 跟踪领导者的蜂拥及编队控制

牵制控制策略也可应用于多个机器人、飞行器的蜂拥及编队控制中[58-60].对于由N个二阶系统构成的网络，设qi=(xi,vi)T为第i个节点的状态，而qr=(xr,yr)T为领导者的状态，可采用牵制控制的策略设计控制器：

其中Ni为第i个节点的近邻节点集合.

8 结论及展望

本文回顾了十多年来复杂网络的牵制控制算法及其实施策略的研究进展，重点论述了牵制节点的选取，综合分析了影响网络牵制控制性能的因素.尽管复杂网络牵制控制已取得了很多成果，但仍存在一些挑战性难题值得深入探索.下面对复杂网络的牵制控制研究提出一些展望：

1)分布式复杂网络的牵制控制.目前文献关于复杂网络中牵制节点的选取大多涉及到网络拓扑结构的全局信息，如何利用局部邻居信息，实现完全分布式的复杂网络牵制控制，这是一个亟待解决的有趣问题.

2)牵制节点个数、牵制控制增益和网络收敛速度的优化.一般来讲，当牵制节点数目较少时，需匹配较大的牵制反馈增益，为减小复杂网络牵制控制的代价，应在牵制节点个数与牵制控制增益间取得适当的平衡.利用较小的控制增益和较少的牵制节点，就可以实现复杂网络的牵制控制同步，这是一个值得探索的研究方向.另外，牵制节点个数和控制增益都较小时，实现同步的收敛速度往往比较慢，如何在牵制节点个数、反馈增益和收敛速度之间寻找一种最优的牵制策略，仍值得深入研究.

3)具有切换拓扑的复杂网络的牵制控制.目前复杂网络的牵制控制研究主要侧重于固定拓扑下的网络，对于具有切换拓扑的有向或无向网络，如何保持网络拓扑的连通性或在一定时间间隔切换子图并图的连通性，从而确保复杂网络的牵制控制，是值得深入研究的又一个公开问题.

4)复杂网络的牵制可控性.目前，复杂网络牵制控制问题的研究大多集中在实现网络同步或一致性，而关于复杂网络的可控性已经有了丰富的研究成果，如何将它们结合起来，在牵制控制的条件下，实现复杂网络的可控性，是一个新的研究课题.

5)超网络、异质网络的牵制控制问题.近年来，随着复杂网络研究的深入，人们提出了超网络(网络的网络)以及根据网络节点的不同动力学特性，提出了异质网络的概念.目前关于超网络和异质网络的牵制控制的研究结果较少，值得深入研究.