傅有明

(三明学院信息工程学院,福建 三明 365004)

1 预备知识

(1)

注意到hi(A)易通过(1)式计算.用矩阵语言可表述为

h(A)=|D|(|D|-|L|)-1|U|e=|D|(I-(|D|-|L|)-1A)e,

具体参考文献[1].

定义1[2]设A=(aij)∈Cn×n,n≥2,是非零对角元矩阵.如果对于每个i∈N,

|aii|>hi(A)i∈N

(2)

成立,那么称A为Nekrasov矩阵.

Kolotilina[1]指出，条件(2)等价于|D|e>|D|(|D|-|L|)-1|U|e,或者是Z-矩阵(|D|-|L|)-1A=I-(|D|-|L|)-1|U|的严格对角占优的条件.

(3)

Johnson利用Gersgorin定理证明了[4]

(4)

并对严格对角占优矩阵给出了进一步的下界[5]

(5)

和

(6)

Wang等[6]给出了严格对角占优矩阵最小奇异值的下界

(7)

笔者将给出Nekrasov矩阵的最小奇异值的一个下界，并基于这个下界给出H-矩阵的最小奇异值的下界.

2 主要结果

证明注意到AA-1=I,则由A=|D|-|L|-|U|可知，

(|D|-|L|)(I-(|D|-|L|)-1|U|)A-1=I.

(I-(|D|-|L|)-1|U|)bi=(|D|-|L|)-1ei,

(8)

记C∶=(I-(|D|-|L|)-1|U|)，那么(8)式等价于

Cbi=yi.

(9)

从而

因此

证毕.

为了获得Nekrasov矩阵最小奇异值的下界，记

定理1假设A=(aij)∈Rn×n是Nekrasov矩阵，则有

σn(A)≥α(A).

(10)

因为严格对角占优矩阵也是Nekrasov矩阵，所以Nekrasov矩阵的最小奇异值σn(A)的下界也能应用到H-矩阵.

定理2设A=(aij)∈Cn×n，是H-矩阵，且存在一个正对角矩阵D使得B=AD=∶(bij)为严格对角占优矩阵，则有

(11)

由定理1和引理 3易知(11)式成立.

3 数值实例

考虑如下矩阵：

这些矩阵的最小奇异值的下界列于表1.

表1 矩阵的最小奇异值的下界

表1中 “—” 表示公式不可用.由表1可知，由(10)式计算的界对矩阵A1～A6都是最好的.