第20届亚洲物理奥林匹克竞赛实验试题介绍与解答

2020-03-11郭旭波张留碗

物理实验 2020年2期

郭旭波,蒋硕,安宇,阮东,张留碗

(清华大学物理系，北京 100084)

第20届亚洲物理奥林匹克竞赛于2019年5月5日至13日在澳大利亚阿德莱德举行. 由清华大学率领代表中国参赛的8名中学生获得了6枚金牌(本届共9枚)，取得了团体第一、个人理论第一的好成绩[1]. 本届竞赛实验题是一个大题目[2]，共20分，包括2部分内容：铁磁流体的静态响应和铁磁流体中的波脉冲. 使用的铁磁流体是悬浮在溶液中的纳米颗粒Fe3O4，该磁流体具有一系列有趣的特性，尤其是在被施加磁场时表现出强烈响应. 本文详细介绍了实验试题内容并且给出详细解答.

1 铁磁流体的静态响应试题介绍

实验器材如图1所示,各器材如下：

1为小玻璃瓶，装有置于透明溶液中的铁磁流体. 实验中不得打开瓶子！

2为装有铁磁流体的玻璃盒，带有密封盖. 不得打开盖子！

3为凳子，用于挡光和固定金属管以及台灯支杆.

4为金属管，可插在凳子上. 管上有螺杆，用于调节磁铁位置.

5为可调式木质底座，装有用于水平调节的尼龙螺栓.

6为带存储卡的相机.

7为2块N52磁铁，14.2 mm×3.2 mm.

8为1块N42磁铁,20.0 mm×5.0 mm(图中未显示).

(a)

(b)

9为500 mm长螺杆，作为台灯的支杆.

10为垫圈和蝶形螺母，可将支杆固定在凳子上.

11为用电池供电的小台灯，带有螺孔.

12为铝箔，用于导光或挡光.

13为橡皮泥，用于粘接器件.

14为绿色楔子.

15为30 cm尺子.

16为4块透明网格条.

17为2块木质垫片.

18为纸质卷尺.

安全事项和重要说明：

2)任何时候都不要打开装有铁磁流体的密封玻璃瓶和玻璃盒. 铁磁流体粘在玻璃盒壁上将很难看清内部的现象. 因此，如无必要不要倾斜！

3)如果将磁铁靠近铁磁流体超过约10 s，会因为剩磁以及与周围流体的作用使其特性有所改变. 虽然实验仍可进行，但可能难以看到正确的效应.

图2 不用磁铁时的相距距离

1.1 实验A：静态测试(1.6分)

本部分研究铁磁流体对磁场的响应. 小玻璃瓶内装有1团密度为1.21×103kg·m-3、磁化率χ为2.64的铁磁流体. 铁磁流体被未知的流体包围，且互不相溶. 铁磁流体在外磁场B的作用下，单位体积的感应偶极矩为

已知圆柱形磁铁轴上的磁感应强度约为

(1)

其中，z为距磁铁表面的距离，l为磁铁的厚度，a为半径，Br为剩余磁感应强度(仅取决于制造磁铁的材料). 对于N42材料制作的大磁铁Br=1.3 T，对于N52材料制作的小磁铁Br=1.4 T.

作用在单位体积铁磁流体上沿着磁铁的磁化方向(z方向)的力为

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(2)

用式(1)计算式(2)中的磁感应强度Bz较为繁琐. 在偶极近似下，式(2)可简化为

(3)

旋转铝管，使穿过凳子的铝管上的螺杆平的端面朝下，如图3所示.

图3 将大磁铁固定在螺纹杆上

旋转时注意螺杆不要碰到凳子. 用橡皮泥将玻璃瓶的侧面粘到楔子厚的边缘的顶部，如图4所示.

图4 将瓶子固定在楔子厚的边缘的顶部

A.1(0.8分) 改变大磁铁的位置，使铁磁流体刚好能悬浮在透明流体中. 测量距离z及其不确定度. 实现完美的悬浮可能很困难，如做不到，测量距离及其不确定度的最佳估值即可. 在答题纸上画出测量距离的示意图.

注意：有时铁磁流体会分成2团，一团磁性，另一团漂浮在液体中. 这通常是因为瓶里有少量空气. 可使用磁铁将铁磁流体移动到瓶中另一处干净的地方.

A.2(0.8分) 利用测量的距离和其他需要测量的数据，计算铁磁流体与周围透明流体的密度差及其不确定度.

1.2 实验B：磁相互作用——铁磁流体的表面张力(1.2分)

铁磁流体在3种能量的影响下运动：重力势能、与表面张力相关的表面能和磁能.

观察当1块磁铁非常靠近瓶子时的现象. 铁磁流体中会出现尖刺. 由于垂直磁场引起的不稳定性，当在重力、表面张力以及磁场作用下,产生波的有效频率变为虚数时发生的现象，其色散关系为

(4)

其中，σ为铁磁流体—透明流体界面处铁磁流体的表面张力，ρ1为铁磁流体的密度，ρ2为透明流体的密度，Δρ=ρ1-ρ2，M0为铁磁流体的磁化强度，k为波数.

(5)

其中，λ是当磁化强度达到不稳定的临界状态时相邻2个尖刺的中心之间的距离.

旋转铝管改变螺杆的方向，调节螺杆的位置，使得磁铁正对着凳子上方的孔并位于孔口下方，从而可以升高或降低磁铁，如图5所示.

图5 实验B部分的磁铁和螺纹杆

B.1(0.6分) 测量玻璃瓶中不稳定性刚刚开始出现时(尖刺开始形成时)的距离zcrit. 使用网格条或其他方法测量铁磁流体中尖刺的间距λ，如图6所示. 计算zcrit和λ的不确定度.

图6 尖刺及其间距测量示意图

注意：如果铁磁流体被磁铁牢固地吸附在玻璃瓶壁上，铁磁流体会粘在上面，使测量变得困难. 可以用磁铁将磁流体吸走，在瓶子的其他地方测量.

B.2(0.6分) 计算铁磁流体在透明流体中的表面张力系数及其不确定度.

1.3 实验C：用光学方法测量无尖刺时液体的表面特征(4.1分)

当外加磁场低于临界值时，流体表面会产生变形，以平衡磁能和重力势能. 在该部分中，磁铁与流体相距足够远，流体中的磁场近似为偶极场.

将流体表面近似看作球面镜，可以用光学方法测量其表面变形. 变形表面中心的有效半径遵循幂律

R=αzn，

其中，α为与材料有关的常量，z为磁铁与未受扰动的流体表面之间的距离.

首先校准放置磁铁的螺杆.

C.1(0.6分) 尽可能准确地测量拧1圈螺杆时z的变化及其不确定度. 绘制测量方法的示意图.

将装有铁磁流体的玻璃盒放在凳子上，使玻璃盒中心位于凳子中心的孔的上方. 将小磁铁放在螺杆上面. 将台灯拧在支杆上，用垫圈和蝶形螺母将支杆固定到凳子上的孔中,如图7所示.

图7 C部分的实验装置照片

C.2(3.5分) 利用球面镜曲率半径R和放大倍数M之间的关系

其中u为物距，测量并画图确定前述关系中的常数n及其不确定度.

1.4 实验D：有尖刺时的表面特征——尖刺的形成和消失(3.1分)

在强的磁场下，流体表面将经历不稳定性并形成尖刺，与玻璃瓶中观察到的现象类似.

图8 叠在一起的小磁铁和大磁铁

D.2(1.0分) 磁铁从距离较远、没有明显尖刺开始，逐渐接近流体，测量每个尖刺形成时的距离. 再逐渐将磁铁远离，测量每个尖刺消失时的距离. 计算测量数据的不确定度.

D.3(1.0分) 绘制尖刺数量与磁铁距离z的关系图. 根据数据点画出2条平滑曲线，并在曲线上标明磁铁的移动方向.

D.4(0.6分) 当磁铁与流体表面的距离变化时，流体的重力势能、磁能和表面能会相应地变化. 定性地画出流体的表面能和磁能与距离的关系. 根据上一步骤的作图，标出相应的临界点. 注意画出整体的变化趋势.

2 铁磁流体中的波脉冲试题介绍

该部分将研究铁磁流体中波脉冲的特性. 流体中的表面波脉冲是重力、表面张力和磁力相互作用的结果. 对于波脉冲，不适用波长或频率的概念. 已知波脉冲在无外磁场时的传播速度为

(6)

其中，d为流体的深度，κ为比例常数. 式(6)适用于波振幅较小时的情况. 当波振幅较大时，流体深度的变化会引起传播速度的变化，并导致非线性效应. 当非线性效应不显著时，波脉冲传播时基本可保持其前沿轮廓;当非线性效应显著时，脉冲在传播中可改变轮廓，并常常在主脉冲的前方或后方产生凸起.

2.1 实验A：平面波脉冲(1.3分)

为了在铁磁流体中产生平面波，将装有铁磁流体的玻璃盒放在木质底座上[图9(a)]，盒的长边沿着木质底座边缘的挡条. 挡条的作用是确保推动玻璃盒时使其沿一方向移动. 确保木质底座是平整和水平的. 用手快速推盒子约2 cm可产生脉冲. 为了保证脉冲的一致性，可以在木质底座上用橡皮泥和(或)木质垫片标记玻璃盒的起始和终止位置. 建议多次练习生成脉冲，使其一致性更好.

(a)木质底座上装有铁磁流体的玻璃盒

(b)放在底座和玻璃盒上方的凳子

将凳子[图9(b)]放在玻璃盒上方. 用台灯提供充足的照明，以便清楚地观察到流体中的脉冲. 确保通过凳子中央的孔，眼睛可以清晰地观察到平面波脉冲. 之后将相机放在孔中[图9(c)]录制脉冲视频，可能需要进一步调整照明和脉冲的幅度，以便拍出清晰的视频. 可以用橡皮泥将台灯贴在合适的位置和(或)使用铝箔挡光或导光来调整照明.

调整光照时，需考虑如何最大限度地减少光线直接进入相机和减少玻璃盒盖子的反射. 但禁止将玻璃盒的盖子取下. 针对不同的实验有2种可选的光照方案：在凳子内产生照向各个方向的漫射光，或者用光照射玻璃盒的侧面.

录制和回放视频的说明请参阅相机说明书. 相机的默认设置即适合制作实验所需的视频.

A.1(0.3分) 画出装置示意图，特别是灯的位置和光的方向.

A.2(0.8分) 在视频中进行测量，计算铁磁流体中的波的速度. 草绘出视频中的关键帧. 草图中需显示重要特征，标出所有所做的测量.

A.3(0.2分) 计算测量不确定度并写出计算表达式.

2.2 实验B：深度变化的流体中的波脉冲(3.4分)

将尼龙螺栓从上面拧入木质底座边缘的孔中. 调整螺栓使玻璃盒中的流体深度发生变化，深度与距底部边缘的距离成线性关系(y方向). 在x方向上深度保持不变. 设流体深度d=0时y=0，流体的表面为xy平面，如图10所示.

图10 放在木质底座W上的装有铁磁流体的玻璃盒

由于流体中的波速与深度有关，如果在容器的一端产生平面波脉冲，在传播时会变得弯曲.

在木质底座上放置好玻璃盒，可以很好地测量铁磁流体中脉冲速度随深度的变化.

B.1(0.3分) 放置好装置后，画出其示意图. 在图上标出所有长度测量值及其不确定度，用于确定玻璃盒中流体的深度d与y的关系式. 写出玻璃盒中的流体深度d(y)的表达式.

B.2(0.3分) 在玻璃盒中产生平面波脉冲，定性地绘出观察到的1个脉冲. 在图上用字母A标出脉冲传播最快的区域，用字母B标出脉冲传播最慢的区域.

注意：为了清楚地观察脉冲，需要调整台灯的位置. 可使用橡皮泥将台灯固定在合适的位置，也可以用铝箔挡光或反射、引导光线.

作为一级近似，假设开始时沿x方向传播的脉冲将保持在x方向传播. (x,y)是t时刻脉冲上各点的坐标.

B.3(0.3分) 对于t=0时处于x=0位置的1个平面波脉冲，求出x，y与t之间的关系. 在B.2步骤的图中，用字母V标出铁磁流体满足这一近似条件的最合理的地方.

B.4(1.2分) 画出装置示意图，尤其是台灯的位置和光的方向. 测量用于计算κ的数据及其不确定度. 画出测量视频的关键帧，显示重要特征，并标记所有所做的测量.

B.5(1.3分) 作图计算κ值，图中应包含每个数据的误差棒. 在B.4部分的表格中，写出用于作图的其他计算值.

在B.3部分得到描述波脉冲的x，y与t之间的关系. 根据实验数据给出x，y与t需满足的条件.

2.3 实验C：波及其磁效应(1.8分)

注意：磁铁碰撞可能会破裂. 碎磁铁危险，且不会更换新的磁铁.

正如之前观察到的现象，在存在磁场的情况下，铁磁流体会运动到磁场最强的区域. 该部分的目的是定性研究波的磁效应.

使玻璃盒中的铁磁流体的深度相同，与之前产生平面波时相同. 将2块小磁铁放在玻璃盒下方，如图11所示，图中标出了大磁铁M快速远离之前的位置，F是装有铁磁流体的玻璃盒，m是小磁铁，W是木质底座，C是轨道槽. 磁铁在木质底座的轨道槽里应当这样放置：当推动磁铁使其侧边靠近时它们相互排斥，并且当玻璃盒放好后，处于轨道槽内的2块磁铁在不相互排斥的情况下尽可能近.

将磁铁放置到位的安全方法是先将1块磁铁放在轨道槽中，然后将玻璃盒放在轨道槽上. 之后用木质垫片协助放置第2块磁铁. 先将第2块磁铁放在玻璃盒旁边，再用木质垫片将其沿着玻璃盒下方的轨道槽推到合适的位置.

图11 用磁铁产生脉冲的示意图

生成波脉冲的方法有以下3种：

1)磁性方法为将大磁铁靠近玻璃盒，然后快速远离.

2)机械方法1为滑动木质底座上的玻璃盒.

3)机械方法2为滑动放有玻璃盒的木质底座.

C.1(1.8分) 定性画出用上述3种方法产生的波脉冲的示意图，并清楚地标出流体下的磁铁如何影响脉冲的波前. 辨别观察到的现象，用相应的数字标明哪种效应导致了观察到的脉冲传播的哪种特征：1)反射；2)折射；3)多普勒效应；4)拍；5)衍射；6)干涉(①驻波，②来自2个狭缝或波源，③来自衍射光栅，④其他).

2.4 实验D：强磁场中铁磁流体的内部特性(3.5分)

这一部分的目标是定量研究磁铁对铁磁流体中脉冲传播的影响.

放置玻璃盒，使铁磁流体具有恒定的深度(图12)，和之前产生平面波脉冲时相同.

图12 D.1部分产生波脉冲的磁铁位置示意图

与C1部分相同，用大的N42磁铁产生脉冲，并调整照明以清楚地观察磁性方法产生的脉冲.

D.1(0.2分) 定性地画出铁磁流体中用磁性方法产生的波脉冲的草图.

D.2(0.8分) 确定脉冲速度及其不确定度. 画出装置图，包括台灯的位置以及光照方向，记录使用的所有数据和公式. 画出测量视频关键帧的草图，显示出重要特征，标记出所有所做的测量.

将小磁铁放入木质底座的轨道槽中，将玻璃盒放在磁铁上面，如图13所示，其中，x表示玻璃盒下方小的磁铁的位置，M表示产生波脉冲的大磁铁. 可以用木质垫片将磁铁放入及调整其位置.

图13 D.3部分产生波脉冲的磁铁位置示意图

用磁性方法产生波脉冲，步骤为先将大磁铁放在图13中M位置，然后快速远离. 观察流体中脉冲的传播，包括小磁铁上方的强磁场区域.

D.3(0.4分) 定性地画出观察到的波脉冲示意图，清楚地显示流体下的磁铁如何影响波前.

D.4(0.3分) 画出确定铁磁流体下的磁铁对波脉冲传播时间的影响的示意图，清楚地标出磁铁的位置和灯的位置.

D.5(1.0分) 测量1个波脉冲通过磁铁区域的时间及不确定度. 画出测量视频关键帧示意图，显示出重要特征，并且标记所有所做的测量.

D.6(0.8分) 铁磁流体经过磁铁上方时深度增加了，这个增加的深度是否可以解释波脉冲速度的变化？用测量和计算来证明.

3 铁磁流体的静态响应试题解答

3.1 实验A：静态测试

距离z及不确定度为z=(0.061±0.004) m. 应多次测量并计算不确定度. 由浮力、磁力和重力的平衡条件可得

代入数值计算可得Δρ=(15±6) kg·m-3.

3.2 实验B：磁相互作用——铁磁流体的表面张力

尖刺刚开始形成时磁铁距离为zcrit=(22±1) mm. 尖刺间距为λ=(6±1) mm. 应多次测量以计算不确定度. 玻璃瓶应平躺着以方便测量(尽管竖直时也可以). 表面张力为σ=(1.3±0.6)×10-2N·m-1.

3.3 实验C：用光学方法测量无尖刺时液体的表面特征

拧1圈螺杆z的变化为(0.80±0.02) mm. 通过拧螺杆改变z，测量对应的台灯像的长度b，并计算相应的数据，结果见表1.

表1 用光学方法测量液体表面特征得到的数据

对lgR和lgz进行直线拟合，所得斜率即为常数n，如图14所示.n的数值应为6～7之间.

图14 lg R与lg z关系图

3.4 实验D：有尖刺时的表面特征——尖刺的形成和消失

计算得表面张力为σ=2.3×10-2N·m-1.

使磁铁逐渐接近流体，测量每个尖刺形成时的螺纹圈数并计算距离. 再逐渐使磁铁远离，测量尖刺消失时的距离. 实验数据如表2所示,作图如图15所示.

流体的表面能和磁能与磁铁距离之间的关系如图16所示. 磁能随着距离的减小以幂律下降，同时在尖刺形成时，由于形成了1个新的不稳定表面，磁能有1个小的跳变. 表面能的变化缓慢一些，但尖刺形成时的跳变更明显. 此外，还需注意总能量随着距离的减小是下降的. 这是因为铁磁流体与下面的磁铁相互吸引，随着距离的减小磁能大部分用于吸引磁铁使其升高，而不是转化为铁磁流体内部的磁能.

表2 尖刺出现及消失时的磁铁距离

图15 磁铁接近与远离时尖刺数量N与距离z的关系

图16 流体的表面能和磁能与距离的关系

4 铁磁流体中的波脉冲试题解答

该部分实验用到2种光照方式. 在实验A和实验D中，光从侧面直接照向铁磁流体，如图17(a)所示. 在其余实验中使用散射光，如图17(b)所示.

(a)

(b)

4.1 实验A：平面波脉冲

测试波脉冲速度的视频关键帧以及数据如图18和表3所示，其中x为波脉冲前沿传播的距离(相对于第0帧时的位置). 使用透明网格条测量，每格对应的长度为17.0/13.4 cm. 视频的拍摄速度为25帧/s. 计算得到的脉冲速度为v=(0.26±0.02) m/s.

(a)

(b)

表3 波脉冲速度测量数据

4.2 实验B：深度变化的流体中的波脉冲

设t=0时波脉冲前沿位于x=0处，已知脉冲速度为v=κd0.5，则t时刻波脉冲前沿位于x=κd0.5t处. 倾斜流体的深度为d=ytanθ.y=0时波脉冲速度最慢，y最大时波脉冲速度最快. 由以上关系可得波脉冲前沿满足的关系式为

x=κ(ytanθ)0.5t

或

x2=yκ2t2tanθ.

波脉冲的传播方向与x方向的偏离越大、流体越浅时非线性效应越明显时，脉冲前沿与这一近似关系的偏差越大. 当y很小时，流体浅且传播速度慢，偏差越大.

图19长度测量值为h=(20±1) mm，l=(195±2) mm.

图19 深度变化的流体示意图

波脉冲传播到t= 8/25 s时波脉冲前沿的测试数据如表4和图20所示. 表4中x0=4.5 div为脉冲前沿与x轴的交点处(y=0时)的x坐标. 对y>2的数据做直线拟合，并转换为国际单位制，可得斜率κ2t2tanθ=0.280 m. 因此κ=(5.9±0.5) m0.5·s-1.

表4 深度变化的流体中波脉冲前沿测试数据

图20 深度变化的流体的测试数据关系

4.3 实验C：波及其磁效应

用磁性方法、滑动玻璃盒方法和滑动底座方法产生的波脉冲如图21所示.

(a)磁性方法

(b)滑动玻璃盒

(c)滑动底座

在小磁铁上方流体有1个小的凸起. 用磁性方法产生的波脉冲的特征包括经过小磁铁时的衍射、从玻璃盒侧面和末端的反射以及波的干涉. 滑动玻璃盒产生的波脉冲的特征包括波前经过小磁铁时受干扰引起的折射、波前重叠时的干涉以及玻璃盒末端的反射. 滑动底座产生的波脉冲的特征包括折射、反射和衍射.

4.4 实验D：强磁场中铁磁流体的内部特性

用磁性方法产生的波脉冲与图21(a)类似.脉冲传播速度的测量与实验B部分类似.

将小的磁铁放入木质底座的轨道槽后，小磁铁上方流体凸起的尺寸可从玻璃盒侧面观察并估测，其直径约为3 cm、高度约为5 mm. 流体中的波脉冲在小磁铁处速度更快，如图22所示. 图中黑色线条为观察到的经过磁铁的波脉冲，蓝色线条为没有磁铁时预计的波脉冲前沿位置. 可以看到，脉冲经过磁铁时传播速度加快了.

图22 脉冲经过小磁铁x位置处传播速度变快的示意图

用散射光照明，用视频方法进行测量，在8个视频帧的时间内脉冲前沿传播了0.8 div. 由此计算得到的在小磁铁凸起处的速度约为0.35 m/s. 对这一现象的解释为：无磁铁处流体的深度约为4 mm，凸起处流体的深度约为9 mm. 由波传播速度与流体深度的关系可知，凸起处的速度为无凸起处的1.5倍，与测试结果符合.