黄 锋 汪兴兴 何彦虎 葛禹锡

1(湖州职业技术学院机电与汽车工程学院 浙江 湖州 313000)2(南通大学机械工程学院 江苏 南通 226019)3(奥托立夫(上海)汽车安全系统研发有限公司 上海 201800)

0 引 言

发动机罩壳是车辆系统中的重要零部件，作为车身的重要覆盖件之一，对车辆发动机等起到保护作用[1-2]，其性能好坏直接影响整车性能。它能有效地将汽车发动机与复杂外界环境隔开，确保车辆发动机的正常工作，且不受外界因素干扰。车辆结构中，发动机罩壳主要由内外板及中间的加强筋等结构件焊接而成，内板起到对发动机等隔离保护，外板和加强筋则是为了加强罩壳的刚度，预防车头受撞或外力冲击时，出现罩壳乃至车头结构过大的损坏性变形。因此，对于车辆结构设计中，发动机罩壳的设计和结构力学性能优化等具有重要的作用和研究意义。由于汽车行驶的路面状况复杂多变，车辆行驶过程中时刻处于微观和宏观上的颠簸与抖动，使得发动机罩壳在结构性能改进设计中，不仅需考虑其静刚度特性，还需提高自身的低阶固有频率，使其具备抑制外界振动的能力[3]。

为了改善发动机罩壳的结构力学性能，国内已有相关学者进行了研究，并取得了一些成果。李立君等[4]采用了CAE技术并对罩壳冲压工艺的改进，进而提高发动机罩壳的结构力学性能。陈越等[5]采用复合材料替换铝合金作为发动机罩壳的材料，并采用复合材料优化设计改善了罩壳的结构力学特性。然而，这些方法所设计和改进设计的罩壳均基于工程师设计经验的传统设计方法，对于设计结果的客观性依据不足，虽一定程度上改善了结构的力学性能，但常导致所设计的结构重量过大等缺点。随着计算机技术和优化技术的不断推广，基于传统设计方法的罩壳结构设计已逐渐不被认可，因此，基于现代设计方法[6]设计一款结构性能较优的发动机罩壳已是亟待解决的问题。将现代设计方法应用于高精尖端领域具有重要的意义[7]。

本文以校企合作单位的某款车型的发动机罩壳作为研究对象，采用多目标拓扑优化技术，使罩壳不仅实现了多目标优化，即结构静态刚度和一阶固有频率均有所提高，还实现了结构轻量化设计。优化问题中采用水平集方法，目的在于获取优化结果中较为清晰的模型边界。该现代设计方法和多目标优化理论等为实际工程结构领域中的结构优化与设计等提供了重要的理论借鉴和可行性设计方案。

1 罩壳的有限元前处理模型

1.1 发动机罩壳的有限元模型

本文为校企合作单位某款车型的发动机罩壳，罩壳尺寸长约1 160 mm、前后宽度约1 450 mm，如图1所示，采用Catia对罩壳进行CAD几何建模。

(a) 模型尺寸

(b) CAD模型图1 罩壳几何模型

罩壳材料主要为冷轧钢板ST14材料，厚度一般为0.7～1.5 mm，基于《机械设计》手册可查询得到罩壳的材料属性和力学性能参数，如表1所示。

表1 发动机罩壳的结构参数

1.2 发动机罩的工况条件

车辆驾驶过程中，因复杂的外部环境如凹凸不平的地面、多变的天气和来自外部环境的干扰因素等，使发动机罩不仅需具备一定的刚度特性用以抵抗外界冲击，还需具备较高的振动抑制能力。对于通用型车辆发动机罩壳的工况条件，已有相关学者做了实验检测和分析，并取得了一定的成就[5]。与此同时，结合合作单位对发动机罩壳的工况测试和总结，可得发动机罩壳主要受到多个工况条件，如表2所示。

表2 发动机罩壳的多个工况条件

采用HyperMesh对发动机罩壳进行有限单元网格离散，赋予其冷轧钢板ST14材料属性并进行工况条件设置后的有限元前处理模型，如图2所示。

图2 罩壳的工况条件

2 多目标优化理论

2.1 水平集法

水平集法是封闭曲线族p(x(t),t)关于时间t的变化情况，又称为最佳解搜索方法[8]。p(x(t),0)为t=0时封闭曲线位置，p(x(t),t)为随时间t变化的封闭曲线，如图3所示。

图3 关于时间t的封闭曲线变化

依据时间t的封闭曲线任意点速度v，该封闭曲线应满足的微分方程为：

(1)

通常，对于封闭曲线的微分方程作为符号距离函数，其表示与封闭曲线的为最近任意点p(t)。此外，函数为正，表示该点位于封闭曲线内侧，反之亦然。

依据微分方程原理，式(1)等式左侧的首项为封闭曲线的负法线向量：

(2)

从而，式(1)可变为水平集公式；

(3)

从式(3)中可得，该方法对于结构几何形状的搜索只与其速度相关，即面对不同拓扑变化的几何边界，封闭曲线始终呈现连续性，故应用领域和层次较广。

为了对结构几何边界有精准的追踪，确定水平集函数p(x(t),t)所处的位置，最终获得最佳的水平集优化解，本文引入了修正后的符号距离函数：

(4)

2.2 静刚度—单目标优化模型

对于设计域内的水平集法，其动态表现形式如图4所示。

图4 水平集法结构演化

依据图3和图4，基于水平集函数p(x(t),t)的结构设计域的隐式关系为：

(5)

综上所述，基于水平集优化模型推理[9-10]，对于发动机罩构建以静态柔度最小化为目标，以优化前后的体积比和结构应力为约束条件的优化数值模型为：

(6)

u|∂In=u0∀ν∈U

式中:C(x)为结构静态柔度；Eijkl为结构的弹性模量；εij、εkl为结构的应变张量。

2.3 动态固有频率—单目标优化模型

众所周知，当外界对物体产生的激励接近物体的固有频率时，物体常会出现共振破坏现象，为了防止“共振现象”，需对发动机罩壳的低阶固有频率进行改进设计，使其避开外界激励频率[11]。发动机罩壳的一阶固有频率高低能真实地反映发动机罩壳乃至整车的动刚度特性，因此，模态分析对于结构动态特性研究乃至深层次动力学分析等具有重要的研究意义和借鉴作用。

本文以发动机罩壳作为研究对象，基于水平集法，以单元密度为设计变量，以一阶固有频率为优化目标，以优化前后的体积比和许用应力值为约束条件构建其动态拓扑优化模型。然而，对于模态拓扑优化过程中，因结构单元材料的删除，常会导致空洞区域的集中应力变大，固有频率失真现象明显。为了避免这类病态现象和目标函数的震荡问题。本文采用由文献[12]提出的平均频率法，对优化模型中的目标函数进行了修正，基于平均频率法对目标函数，即一阶固有频率的修正公式为：

(7)

式中:Λi为修正的第i阶固有频率值，本文中取i=1；Λi0为第i阶的初始固有频率值；λi0为第i阶的特征值，为常数；s为给定常量；ωi为第i阶加权因子；λi为第i阶的特征值；m为需考虑固有频率的阶次数目；n为修正决定因子。

本文研究中为了简化优化步骤，基于文献[12]，取n=-1，则优化目标为式(7)中的首项，即Λ1,1。优化模型为：

(8)

s.t.u|∂In=u0∀ν∈U

S(x)≤[S]

∀x∈In

式中:H(x)为Heaviside函数；S(x)为优化后结构的应力值；[S]为结构的许用应力值；ve为第e个单元体积；ρe为第e个单元的密度；f为优化前后的体积分数；V0为结构初始体积值。

3 静动态多目标优化模型

3.1 基于层次分析法的单目标权重因子

层次分析法是基于数理统计的决策方案，通过定性定量的方法对方案进行准则层次化，客观地求出各方案的权重因子[13]。该方法属数理统计学范畴，由Saaty于1970年代初提出。该方法简单、有效且避免了传统上依据工程师设计经验判定方案的重要性，避免了各目标的权重因子设定的主观干扰性和不严谨性。

决策的层次分析法采用了数理统计中的特征矢量法[14]，该方法是给定加权特征向量E与决策矩阵J的右乘：

(9)

本文对发动机罩壳的多目标优化问题[15-16]研究中，主要考虑了静态刚度和动态一阶固有频率，依据文献[14]中采用层次分析法的决策矩阵原理，可得本文中的决策矩阵构型为：

(10)

式中：Jij为第i、j个目标函数在决策中的重要性参数。基于发动机罩的产品结构设计要求和相关研究基础，本文对发动机罩壳的研发中，抑制外界激励能力特性较重要于罩壳的刚度特性。依据各子目标函数的重要性参数[14]，可得本文的决策矩阵为：

(11)

从而，可求得式(11)中的特征值数组及其对应的特征向量为：

从而，可得最大特征值λmax=2所对应的特征向量E1=(0.316 2 0.948 7)T，即本文所求的关于静态刚度和模态一阶固有频率的加权因子。不失一般性，对于所求的特征向量中，非零特征向量数大于1时，为使权重因子的大小能更好地反映为相应目标函数的重要性，还需进行一致性判别处理。一致性指标(Consistency Index，CI)可表述如下：

(12)

式中：N为子目标数目；λmax为特征值数组中的最大特征值；JI为随机产生矩阵的一致性指标[14]。当CJ<0.1时，则决策矩阵的一致性合格，依据决策矩阵所求的特征向量Ei即可作为多目标中各子目标的加权因子。本文依据特征向量E得到非零特征向量数为1，不需一致性判别。

依据特征向量E1，可得静态刚度和模态一阶固有频率的加权因子比约为1∶3，即为0.25和0.75。

3.2 多目标优化的总目标函数

由于折衷规划法的原理简单易懂，在工程领域中的多目标规划中具有较好的实用性，因此，本文主要采用折衷规划法并结合对动态目标函数的平均频率法，对式(6)和式(8)的两个目标函数进行综合，形成的总目标函数为：

(13)

式中：F(x)为多目标函数；ωc为柔度加权因子；ωm为一阶固有频率加权因子；cmax、cmin为罩壳的静态柔度最大值、最小值；mmax、mmin为罩壳的模态一阶固有频率最大值、最小值。

综上所述，结合发动机罩壳关于静态柔度和模态一阶固有频率的单目标拓扑优化结果，式(13)可进行具体的数值化为：

(14)

式中：c为柔度变量；m为一阶固有频率变量。

然而，OptiStruct仅支持单目标的拓扑优化求解，对于多目标优化问题，需通过内嵌的函数编辑器进行多目标优化函数的编写。由式(14)可得柔度折衷值与一阶固有频率折衷值的平方和的平方根，即多目标函数。本文采用OptiStruct中平方和平方根函数rss对该优化目标函数进行编辑，如图5所示。

图5 基于二次开发内嵌的多目标函数

图5中F为关于柔度和一阶固有频率的多目标优化函数；c和m为多目标优化过程的柔度值和一阶固有频率，随优化迭代而变化。

4 优化结果

4.1 静态刚度优化结果

依据第1.1节中的汽车发动机罩壳的有限元模型和第1.2节中的工况条件，结合第2.2节中基于水平集法的优化数值模型，采用OptiStruct优化求解,相邻迭代的优化目标绝对差值作为迭代终止条件，该容差值设置为0.005。经过18次优化迭代，得到静态拓扑优化收敛后结构材料分布情况如图6所示。

图6 静态拓扑优化结果

图6中区域A的连续部分表明罩壳在该处为受外载影响的主要区域，需布置较厚的材料或布置加强筋；区域B的连续部分表明罩壳在该处为非受载区，可去除该连续区域内的材料或加强筋的布置。基于静态拓扑优化后的发动机罩壳，其优化前后的刚度特性和整体质量等主要性能参数如表3所示。

表3 静态拓扑优化前后的性能参数

发动机罩壳的静态优化结果分析表明：发动机罩壳的柔度值从8.36 mm/N下降到了4.78 mm/N，下降了42.82%，表明发动机罩壳的刚度有了较大的提升；最大应力值从268.36 MPa，下降到238.36 MPa，表明结构的集中应力现象有了较大的改善，这也意味着发动机罩壳的结构力学性能有了明显的改善。此外，发动机罩壳的质量由10.38 kg降到3.11 kg，说明发动机罩壳在改善结构性能的同时，还实现了结构的轻量化，节省结构制造的材料成本。

4.2 模态优化结果

依据发动机罩壳的有限元前处理模型及其工况条件，结合第2.3节中基于水平集法的动态优化数值模型，采用OptiStruct进行优化求解，相邻迭代的优化目标绝对差值作为迭代终止条件，该容差值设置为0.005。经过27次的优化迭代，可得到动态拓扑优化收敛后的结构材料分布情况和优化迭代曲线如图7所示。

图7 模态拓扑优化结果

图7中区域A的连续部分表明罩壳在该处为受振动影响的主要区域，需布置较厚的材料或布置加强筋；区域B的连续部分表明在该处受振动的影响甚微，结构改进中该区域可不作改进设计。基于模态拓扑优化后的发动机罩壳，其优化前后的结构模态特性参数如表4所示。

表4 动态拓扑优化前后的性能参数

发动机罩壳的模态优化结果分析表明：发动机罩壳的一阶固有频率从368.698 Hz提高到了501.035 Hz，增强了35.89%，表明发动机罩壳的动态特性有了很大提升，其抑制振动能力也有了很大提升。

4.3 多目标优化结果

本文基于水平集法和多目标优化理论，构建以总目标函数最小化，以优化前后体积分数为约束条件的发动机罩壳的优化数值模型。相邻迭代的优化目标绝对差值作为迭代终止条件，该容差值设置为0.005，采用OptiStruct进行40次求解，得到罩壳的优化结果和优化迭代曲线如图8所示。

图8 多目标优化结果

图8中区域A的连续部分表明该处为罩壳受外载和振动影响的主要区域，需布置较厚的材料或布置加强筋；区域B的连续部分表明在该处受外载荷和振动的影响甚微，可去除该区域的加强筋布置。基于多目标优化后的发动机罩壳，其优化前后性能参数如表5所示。

表5 多目标拓扑优化前后的性能参数

综上所述，基于水平集法的多目标拓扑优化，所设计的发动机罩壳柔度值从8.36 mm/N下降到了5.09 mm/N，一阶固有频率从368.698 Hz提高到了488.129 Hz，表明罩壳的静、动态结构特性明显改善，增强了振动抑制能力。最大应力从268.36 MPa下降到239.40 MPa，处于罩壳材料许用屈服强度值范围内。该设计有效地消除了结构集中应力现象，且实现了结构设计的轻量化。

5 结 语

本文在拓扑优化技术中引入了水平集方法并结合多目标理论，采用OptiStruct对发动机罩壳进行了多目标优化设计。通过优化前后的相关性能参数比较，结果表明：水平集拓扑优化技术能有效地提高罩壳的静、动态结构性能，增强结构的振动抑制能力。基于层次分析法确定权重因子，避免了多目标优化模型构建中的主观能动性。采用平均频率法对动态目标函数的处理，有效地消除了动态优化过程中的收敛性。该方法为工程结构的多目标优化设计提供了理论设计方法和重大应用价值。此外，该技术还将数量统计知识引入到优化理论中，为相关算法的创新发展提供一定的借鉴作用。