巧用二次函数对称性解决问题

2020-03-10王寅

初中生世界·九年级 2020年12期

关键词：对称点对称性对称轴

王寅

抛物线的轴对称性，是二次函数的一个重要特征，往往也是解题的关键。我们如果能够熟练并巧妙地运用，可使解题变得轻松。

一、利用对称性求点坐标

例1 已知二次函数y=kx2-4kx+3k图像上有一点（3，2），则该点关于图像对称轴的对称点的坐标为（）。

A.（2，3）

B.（l，2）

C.（2，2）

D.（l，3）

【分析】我们要求对称点，就要先求出抛物线的对称轴，然后利用对称性求出另一点的坐标。

解：对称轴为x=-b/2a=--4k/2k=2。设所求点的横坐标为m，根据中点坐标公式可得m+3/2=2，解得m=l。由对称性可知纵坐标不变，所以所求点的坐标为（1，2）。故选B。

【点评】灵活利用配方法或公式求出对称轴是解题的关键。本题还可以利用十字相乘法，将表达式转化为交点式y=k（x-1）（x-3），求出对称点的坐标。

二、利用对称性比较数值大小

例2 若点A（2，y，）、B（-3，Y2）、C（3，y3）三点在二次函数y=x2-4x-m的图像上，则Y1、Y2、y3的大小关系是（）。

A.Y1>Y2 >y3

B.Y2>Y1>Y3

C.Y2>y3 >Y1

D.y3>Y1>Y2

【分析】找出图像对称轴，利用增减性求解。

解：配方得y= （x-2）2-4-m，所以對称轴为x=2。因为a>0，A点横坐标为2，所以A为图像顶点，即Y1最小。根据对称性，可得点C关于对称轴的对称点C'的坐标为（1，y3），在对称轴左侧，y随x增大而减小，所以Y2>Y3，即Y2>Y3>Y1。故选C。

【点评】借助抛物线的轴对称性，把位于对称轴两侧的点变换到同一侧，这样便于利用二次函数的增减性来进行比较。当然，本题也可直接代入求解。

三、数形结合解不等式

例3 已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图像如图1所示，若y>0，则x的取值范围是（）。

A.x >1

B.x<-1

C.-l

D.x<-1或x>3

【分析】函数图像与x轴有两个交点，所以要先求出另一交点。

解：由图可知，抛物线的对称轴为x=1，一个交点为（一1，0），易求出另一交点为（3，0）。因为y>0，所以根据图像可知对应的取值范围应为x轴上方部分，即x<-l或x>3。故选D。

【点评】本题容易错解为x<-l，忽视对称轴另一侧的情况。数形结合思想是解决函数取值范围的主要方法，如本题，若问当y<0时，求x的取值范围，则可根据图像直接得到答案为-l

四、巧用对称性求面积

例4 如图2，把抛物线Y= 2/3x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（O，0），它的顶点为P，对称轴与抛物线y= 2/3x2交于点Q，则图中阴影部分面积为（）。

A.12

B.14

C.16

D.18

【分析】求不规则图形面积应利用拼、割、补等方法转化为规则图形。

解：作QD⊥y轴于点D，设PQ与x轴交于点C。由抛物线m经过A（-6，0）、O（O，0），通过交点式可得m的表达式为y=2/3（x+6）（x-0），即y=2/3x2+4x，所以图像m的对称轴为x=-3，将x=-3代入y=2/3x2，得Q（-3，6），所以PC=QC，所以阴影部分面积可转化为矩形CQDO面积，即3x6=18。故选D。

【点评】处理不规则图形面积的关键是转化。本题通过求出P、Q两点坐标，结合对称性，将阴影部分面积转化为矩形面积。

例5 如图3，抛物线y=x2， y=1/2x2， y=-1/4x2分别交矩形ABCD于F、E、A、D、C、B，若点A的横坐标为-1，则图中阴影部分面积的和为（）。

A.l

B.2

c.3/4

D.4/3

【分析】已知的三个函数表达式都为y=ax2的形式，可知图像顶点都为原点，对称轴都为y轴。可将右侧阴影部分移至左侧，即求矩形ABCD面积的一半。

解：由图可知，点A在抛物线y= 1/2x2上，点B在y=-1/4x2上，将x=-l分别代入，得A（一1，1/2）、B（一1，一1/4），所以AB=1/2+1/4=3/4，则左侧矩形面积为lx3=3。故选C。

【点评】解题的关键点是判断各点所对应的抛物线。因为点B所在抛物线开口向下，所以点B在y=- 4x-上;因为lal越大，抛物线开口越小，所以点A在y= 1/2x2上。

五、巧用对称性求值

例6 如图4，已知点C（O，2）、D（4，2）、F（4，0）。问题：

（1）请利用尺规作出抛物线的对称轴，想一想能有几种作法;