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“直方图”课题式教学设计研究

2020-03-09沈威曹广福

关键词:频数直方图统计表

沈威 曹广福

【编者按】 本刊2020年第8期刊登了沈威和曹广福两位老师的《中学数学课题式教学概述》一文,阐述了“中学数学课题式教学”的含义、逻辑起点、根本动力和基本环节。课题式教学类似于问题驱动的教学、研究性学习等,并非新鲜概念。两位老师提出这一概念,强调的重点不是探究学习、思考操作、交流讨论的热闹教学形式,而是深入数学发展史,寻找促使理论知识产生的本原性问题及其派生性问题,引导学生通过分析与解决问题,把课程当课题来研究,完成数学的“再创造”。

本期刊登“中学数学课题式教学”一篇课例文章。

摘要:直方图作为一类特殊的统计图,联系着离散型统计变量与连续型统计变量;作为重要的数据分析工具,被普遍运用于解决各类现实问题。人教版初中数学教材“直方图”内容的编写存在没有凸显引入频数分布直方图的必要性、没有自然地画出频数分布直方图等问题。由此,尝试基于中学数学课题式教学的理念设计“直方图”的教学:以学生的生活现实和数学现实为基础,围绕促使理论知识产生的一系列问题,引导学生研究体育比赛的成绩数据,通过问题的发现与提出、分析与解决,完成数学的“再创造”。

关键词:课题式教学数学思想科学价值人教版教材直方图

“直方图”是初中数学“统计与概率”领域的重要内容。《义务教育数学课程标准(2011年版)》对其的教学要求是“通过实例,了解频数和频数分布的意义,能画频数直方图,能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息”,而对“统计与概率”领域的教育价值定位为培养学生的数据分析观念。那么,“直方图”的教学如何较好地体现课程标准的要求?我们首先分析直方图蕴含的数学思想和科学价值,然后剖析人教版教材“直方图”内容的编写,最后尝试基于中学数学课题式教学的理念设计“直方图”的教学。

一、教学内容分析

教学内容分析是教学设计的重要基础。对于中学数学课题式教学来说,需深入挖掘教学内容的数学本原。

(一)统计图的科学价值

统计学能以数据表征复杂深奥的事实,化繁为简,从大量的同类数据中揭示深刻的关系,基于过去预测未来等,故成为自然科学、社会科学与技术科学的重要研究工具。刻画数据关系、体现数据特征与进行数据分析的主要方法有三种,第一种是文字与符号语言,第二种是统计表,第三种是统计图。其中,文字与符号语言因为抽象性较强,往往很难让人领会其中的深刻含义,而表格与图形具有直观明了的表现力,因此,统计学经常使用各种统计表和统计图来展现数据关系、描述数据特征。

统计表与统计图是由政治经济学之父、统计学的创始人威廉·配第创造的。自从统计表、统计图被发明和使用,人们就再也离不开它们了。统计表的价值在于能省去繁杂的文字叙述,通过排列数据,简化资料,凸显关系与特征,便于分析、对比和计算數据;统计图则是把统计表中的数据直观化、图像化,更加明了地表现与分析数据。统计表和统计图都是数据的载体,往往是“不分家”的;统计表可以独立于统计图,但是统计图必须依赖于统计表而存在。

相较于统计表,统计图具有独特的直观性,使人一目了然;不但能刻画数据的大小关系,而且能体现数据之间的相关或因果关系及变化规律。这是统计图的重要性及价值所在,因此有“字不如表,表不如图”的说法。

(二)直方图蕴含的数学思想

统计图主要包括条形图、折线图、扇形图、直方图、散点图、雷达图、茎叶图等。直方图作为一类特殊的统计图,联系着离散型统计变量与连续型统计变量,是样本估计的重要工具。直方图包括频数分布直方图与频率分布直方图。频数分布直方图是频率分布直方图的基础,是把离散型数据转化为连续型数据的入口;频率分布直方图是频数分布直方图的深化,能把无序散乱的数据表征为频率密度曲线。

进一步而言,频数分布直方图在离散型统计向连续型统计发展的过程中起着重要的推动作用。如果仅对具体离散的数据做频数统计,则得到的是离散型度量;不管怎么仔细地数,得到的频数始终是精确的非负整数。与之相对的,如果把数据等距分组后做频数统计,则得到的是连续型度量;得到的频数依赖于数据分组的精细程度。

连续性思想是近代数学发展的基础。连续型数据是数学的连续性理论运用于统计的重要载体,推动了统计学的发展。对于连续型数据,把统计频数除以样本总数得到的是相对频数,用直方图刻画相对频数,其总面积等于1。如果对数据的组段不断分细,确定每个小组的组中值并用光滑的曲线连接起来,其曲线公式就是概率密度函数,如正态分布、卡方分布、t分布和F分布等。

(三)直方图的科学价值

直方图作为重要的数据分析工具,被普遍运用于各类现实问题的解决。在“中国知网”搜索标题含有“直方图”的学术论文,共有960余篇,涵盖计算机、临床医学、信息通信、控制工程、通用技术、电子技术、数学、统计、物理、测绘与教育等领域,其中,属于临床医学领域的比例高达70%,且呈逐年上升趋势。直方图作为研究工具,在医疗诊断方面,结合具体的研究对象被进一步发展为表观扩散系数直方图、扩散峰度成像直方图、成像全域直方图和灰度直方图等,且被认为具有重要的科学价值。

二、教材编写商榷

教材编写是教学设计的重要参考。那么,“直方图”内容的教材编写情况如何?哪些地方是值得借鉴的,哪些地方是需要改进的?下面,以人教版初中数学教材为例做具体剖析。

(一)教材编写

人教版初中数学七年级下册“10.2 直方图”一节,首先指出:“我们学习了条形图、折线图、扇形图等描述数据的方法,下面介绍另一种常用来描述数据的统计图——直方图。”然后呈现情境问题:“为了参加全校各年级之间的广播操比赛,七年级准备从63名同学中挑选身高相差不多的40名同学参加比赛,为此收集到这63名同学的身高如下。选择身高在哪个范围的同学参加呢?”同时出示学生身高的数据表以及学生排成方阵做操的情境图(表和图略)。接着指出:“为了使选取的参赛选手身高比较整齐,需要知道数据(身高)的分布情况……为此可以通过对这些数据适当分组来进行整理。”经过计算最大值与最小值的差、决定组距和组数、列频数分布表三个步骤之后,给出结论:“因此可以从身高的155 cm至164 cm(不含164 cm)的同学中挑选参加比赛的同学。”

情境问题解决之后,教材“强制”加入画频数分布直方图的内容,首先指出:“如图1,为了更直观形象地看出频数分布的情况,可以根据表1画出频数分布直方图。”然后解释:“在图1中,横轴表示身高,纵轴表示频数与组距的比值。容易看出,小长方形面积=组距×频数组距=频数。可见,频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小,小长方形的高是频数与组距的比值。”接着,才真正给出频数分布直方图:“等距分组时,各小长方形面积(频数)与高的比是常数(组距)。因此,画等距分组的频数分布直方图时,为画图与看图方便,通常直接用小长方形的高表示频数。例如,图1表示的等距分组问题通常用图2的形式表示。”

(二)问题商榷

教材编写有不少值得借鉴的地方,比如,情境问题中的数据没有明显的统计项目分类,这体现出频数分布统计的根本特征。但也存在一些值得商榷的地方,下面重点剖析这些地方,以便更有针对性地进行教学设计。

首先,教材在引言后呈现的是一个与直方图没有直接关系的情境问题:这一情境问题的解答只要用到频数分布表。此后,只是通过“为了更直观形象地看出频数分布的情况”的解释,“强制”引入频数分布直方图。这样的编写,没有凸显频数分布直方图的价值,即引入其的必要性。此外,教材在引言中由条形图、折线图、扇形图提出直方图,但是后续没有说明它们与直方图的联系与区别,更不用说由这3种统计图的局限性来体现直方图的优越性了。

其次,教材在引入频数分布直方图后,根据“身高分组”和“频数”的分布表(表1)画出的却是“身高”和“频数/组距”的分布直方图(图1)。此后,又指出这样的“频数分布直方图”“是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小”,“为画图与看图方便,通常直接用小长方形的高表示频数”,才画出“身高”和“频数”的分布直方图,即真正的频数分布直方图。这样的编写很不自然:为什么要把表中的“频数”变为“频数/组距”?其统计学意义是什么?为什么要先给出不能直接读取频数(即不够直观)的“频数/组距”分布直方图,再给出可以直接读取频数(即更为直观)的“频数”分布直方图?为什么不先画出后者?教材没有给出说明。

三、“直方图”课题式教学设计

根据直方图蕴含的数学思想与科学价值以及人教版教材编写存在的值得商榷的地方,“直方图”的教学要凸显引入直方图的必要性,并且帮助学生掌握如何用直方图描述与分析数据,使数据之间的关系或规律得以直观显现;同时,掌握绘制直方图的规范格式和灵活变化,使直方图能够恰当凸显数据的相关特征。由此,尝试基于中学数学课题式教学的理念设计“直方图”的教学:以学生的生活现实和数学现实为基础,围绕促使理论知识产生的一系列问题(即本原性问题和派生性问题),引导学生研究体育比赛的成绩数据,以之作为评价健康状况、运动能力等的依据,通过问题的发现与提出、分析与解决,完成数学知识的“再创造”,树立重视健康、参与运动的理念。具体问题设计及说明如下:

情境问题我们学校运动会组委会根据前期统计调查,科学地规划了运动会比赛事宜,让全校学生更方便、更安全、更高效地参加运动会的比赛项目。本次运动会中,1500米长跑是最受关注的比赛项目之一,共有80人参加,他们比赛的成绩数据如图3所示。你能运用统计图表描述与分析它们,让大家直观了解长跑比赛的整体情况吗?

引入直方图的情境问题自然要以简明直观地了解数据之间的关系、展示数据的整体情况为需要,凸显引入的必要性。该情境问题以80名学生参加1500长跑比赛的成绩数据为载体,引导学生研究如何恰当地运用统计图表描述与分析成绩数据。这里的成绩数据具有一定的“连续性”,部分比较稠密,部分比较稀疏,没有以前“离散化”的统计项目分类;而且,不是经过统计计数的简单整数;同时,带有分和秒的复杂时间单位。因此,蕴含了难以用学过的统计图表描述与分析的伏笔,为引入“分组”统计数据做了铺垫。这就是引入直方图的本原性问题。

问题1可用哪些统计图表来描述与分析80名学生长跑比赛的成绩数据?已有的统计方法能否合理地描述与分析比赛的成绩数据?

按照课题式教学的基本思路,研究宏观的本原性问题,需要将其具体化为多个微观的派生性问题,逐个加以解决。这里的第一个派生性问题便是学生已经学过了哪些统计图表,它们能否用来解决情境问题。这可以引导学生回忆、搜索其认知结构中与统计图表相关的知识内容及其运用经验,并进一步尝试逐个运用这些统计图表描述与分析成绩数据。由此,学生会发现已学的统计图表都很难准确处理当前的成绩数据。

问题2运用已学的统计图表来描述与分析比赛成绩数据的困难在哪里?如何突破这个困难?关键点是什么?

学生已学的统计图表主要是条形图、折线图、扇形图及相应的统计表,但是,这些统计图表很难准确处理当前的成绩数据。既然不能准确地描述与分析每个数据,没有明显的统计项目分类,那就弱化要求,放弃对每个数据的统计,而把这些数据“分组”统计(也就是把离散的数据扩大到连续的区间上)。这样,就能在弱化要求的情况下描述和分析整体数据。

问题3如何对数据分组?分多少组合适?如何确定组距?

确定弱化逐个统计为分组统计后,就要面临这样的3个问题。根据常识,一般数据越多,分的组也就越多;当数据在100个以内时,按照数据的多少,分为5-10组。自然地,确定组距时要用这一组数据的极差除以分的组数。以此为基础,引导学生填写频数分布表。

问题4如何根据频数分布统计表画频数分布统计图?要注意哪些?

对此,可以引导学生类比条形图,探究并确定以直立长方形的高矮表示各组的频数,以直立长方形的宽度表示各组的组距,得到频数分布直方图;然后,根据频数分布表中的相应数据画出频数分布直方图。

问题5你能概括出上述统计图与之前学过的统计图之间的区别与联系吗?你能给它起个名称吗?

对此,可以从数学研究一般方法的高度,引导学生回顾反思刚剛的学习过程:基于什么原因放弃原有的统计图?基于什么原理建立新的统计图?把新的统计图与原有的统计图做横向与纵向比较,包括制表过程与作图过程,以及图表之间的不同要素等,总结它们之间的区别与联系,促进学生理解直方图的本质,培养学生的数据分析能力,提升学生的数学课题研究性思维。

*本文系广东省教育科学规划项目“数学教师实践性知识及其教学表现研究”(编号:2018GXJK184)、惠州学院自主创新能力提升计划项目“中小学数学教师教学素养及其专业发展研究”(编号:hzu201826)的阶段性研究成果。

参考文献:

[1] 沈威,曹广福.中学数学课题式教学概述[J].教育研究与评论(中学教育教学),2020(8).

[2] 李金昌,等.统计思想研究[M].北京:中国统计出版社,2009.

[3] 杨淑秋.会说话的统计图表[J].中国统计,2019(8).

[4] 刘强,贾歆,耿左军,等.常规MRI联合ADC直方图分析预测眼眶淋巴瘤的价值[J].临床放射学杂志,2019(12).

[5] 杨梦,陈婷,宋佳成,等.扩散峰度成像直方图在诊断子宫内膜样腺癌临床及病理学特征的临床应用研究[J].临床放射学杂志,2019(2).

[6] 陈善林.统计制图学[M].台北:台湾商务印书馆,1969.

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