张思洋，张 爽，张庆成

(1.东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024；2.东北师范大学人文学院数学系，吉林 长春 130117)

1 预备知识

莱布尼茨代数最早由Loday[1-2]提出：当李代数不满足反交换性时即为莱布尼茨代数.Hom-莱布尼茨代数和莱布尼茨超代数是莱布尼茨代数的推广，文献[3-7]有很多与其有关的重要结果.二次莱布尼茨代数是在莱布尼茨代数的基础上加入了一个非退化不变双线性型，文献[8]讨论了它的一些性质.二次Hom-莱布尼茨代数是二次莱布尼茨代数的推广.根据二次Hom-李代数的定义[9]，本文定义了二次Hom-莱布尼茨代数，并且给出其左、右表示的概念，同时得出了关于二次Hom-莱布尼茨代数的一些重要性质.

定义1设(L，[，]，α)是一个三元组，其中L是一个向量空间，[，]：L×L→L是一个双线性映射，α：L→L是一个线性映射.有：

(1) 若[α(x)，[y，z]]=[[x，y]，α(z)]+[α(y)，[x，z]]，∀x，y，z∈L，则称(L，[，]，α)是一个左Hom-莱布尼茨代数；

(2) 若[α(x)，[y，z]]=[[x，y]，α(z)]-[[x，z]，α(y)]，∀x，y，z∈L，则称(L，[，]，α)是一个右Hom-莱布尼茨代数；

(3) 若(L，[，]，α)既是一个左Hom-莱布尼茨代数，又是一个右Hom-莱布尼茨代数，则称其为对称Hom-莱布尼茨代数.

命题1设(L，[，]，α)是一个左Hom-莱布尼茨代数，则(L，[，]，α)是一个右Hom-莱布尼茨代数的充要条件是[α(x)，[y，z]]=-[[y，z]，α(x)]，∀x，y，z∈L.

证明充分性.

因为(L，[，]，α)是一个左Hom-莱布尼茨代数，故有下列式子成立：

[α(x)，[y，z]]=[[x，y]，α(z)]+[α(y)，[x，z]]，∀x，y，z∈L.

由已知条件

[α(x)，[y，z]]=-[[y，z]，α(x)]，∀x，y，z∈L，

可以得出

[α(x)，[y，z]]=[[x，y]，α(z)]-[[x，z]，α(y)]，∀x，y，z∈L，

故(L，[，]，α)是一个右Hom-莱布尼茨代数.

必要性.

因为(L，[，]，α)是一个左Hom-莱布尼茨代数，故

[α(x)，[y，z]]=[[x，y]，α(z)]+[α(y)，[x，z]]，∀x，y，z∈L.

由(L，[，]，α)是一个右Hom-莱布尼茨代数，从而

[α(x)，[y，z]]=[[x，y]，α(z)]-[[x，z]，α(y)]，∀x，y，z∈L，

因此

[α(x)，[y，z]]=-[[y，z]，α(x)]，∀x，y，z∈L.

定义2设(L，[，]，α)是一个左(右)Hom-莱布尼茨代数，并且α是一个满同态：

(1) 设H是L的一个子空间，若满足∀x，y∈H，均有[x，y]∈H，α(x)∈H，则称H是L的一个子代数；

(2) 设H是L的一个子空间，若满足α(x)∈H，∀x∈H成立且[H，L]⊆H，[L，H]⊆H，则称H是L的一个理想；……