都 大 鹏

(东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024)

1 特解

过去几十年来，定性分析在非线性偏微分方程领域取得了巨大的成就，来源于几何的偏微分方程尤其如此.最著名的例子可能是3维Poincare猜想的最终解决.一般来说，定性分析是指对初边值加条件，然后证明解具有某种性质.对非线性数学物理方程，定性分析也取得了非常丰硕的成果，但与几何方程相比成就似乎要少一些.对于不适应的问题体现得最为明显，其原因可能是很大一部分非线性数理方程分析结构相对较少.

非线性数理方程的很多问题都可以归结为某类特解的存在性.比如：奇异解、周期解、椭圆方程全空间上非平凡解、边值问题多解等.本文建议将找特解作为研究这些问题的主要途径之一.这里说明一点，特解不是精确解，只能期望证明解的存在性，而不是显式地把解写出来，其主要任务是解方程.

这样做的原因有两个：一是特解非常有用，有些情况甚至足够有用.对于非线性偏微分方程，目前物理学家主要是用精确解[1-2]，而特解必将带来多得多的解，这在物理上似乎足够用了.粗略地说，虽然不能对某一整类初边值找到所需性质的解，但可以找到一个或一些，这一般来说在应用中已经很有用了.特解应用的一个著名例子是柯朗与弗里德里克斯的经典著作[3]，这本书可以概括为1维和径向对称时可压缩Euler方程组稳态特解与自相似解在力学中的应用.1维与……