【摘要】用空间多一个维度结合压缩相似理念给出了一种关于1°的角的尺规画法之后，在这同一理念下又解决了任意角的尺规等分问题.

【关键词】化圆为方;立方倍积;三等分角.

话说化圆为方、立方倍积、三等分角都是二千五百年前古希腊王朝遗留的几何难题.可喜的是《整数度角的尺规作图》用空间多一个维度结合压缩相似理念完美地给出了1°角的尺规画法.于是与整数度角有关的尺规心结都能迎刃而解.

由于立方倍所积涉及的方程为：

2v3=V3.（1）

（1）中v，V分别为两立方体的边长，将（1）的两边同时开立方得：

32v=V.（2）

（2）中32之值的小数点后有永无止境的小数数位，而这无疑是一汪叫作32=1.2599210498949……的深深海洋，数学家们认为，在这样机关重重的苦海中颠簸，立方倍积之舟永远也不可能到达几何的尺规港湾.由于化圆为方所涉及的方程为：

πR2=S2.（3）

（3）中R为圆的半径，S为正方形的边长，将（3）两邊同时开平方得：

πR=S.（4）

（4）中π之值是一个超越数的算术平方根，数学家们认为，有此神秘之君作祟，化圆为方的尺规作图根本就不可能用普通的方法求得答案.那么怎样才能清除前进中的障碍而到达那理想的目的地呢？对此我们不妨取（4）为例来解释：

第一，从数轴OX的原点O开始，令化圆为方中的半径R=1，因已知π=1.7724531023415……进而知道式中各小数位上的数与OX轴上的点有各自的对应.由于本求作过程有序且连续，故我们可从π之值的任意指定小数位开始操作，若把式中的第一小数位定义为第一级精度，则知紧随其后会有第二级精度、第三级精度……

第二，利用第一级精度数字7，可设a1=1.8，b1=1.7，此中a1的小数位比b1的小数位大1，这是把π之值的第一小数位后的数去除（即缩小）而定为b1，并在b1的小数位上加1（即增大）而定为a1，如此则a1和b1成了OX轴上的特定已知点，且因做过增大和缩小处理，知π之值处在a1和b1之间，即知有范围式a1>π>b1存在.因a1和b1的小数位相差1，知在1.7与1.8之间还有1.71，1.72，1.73，…，1.79存在.依次作线段a1b1中各等分点的垂线，则有交点c1，c2，c3，…，c9产生，从π之值的等式中知第二级精度数字是7，进而知此7是处在过c6和c8的两垂线之间，即知有范围式c8>π>c6存在，可以看到c8>π>c6控制的范围比a1>π>b1缩小了许多.

第三，与第一级精度操作的情形完全相同，由于第二级精度数字是7，在照前面的缩小和增大中，设a2=1.78，b2=177，而知a2和b2是OX轴上的特定已知点，且因做过增大和缩小的处理，知π之值处在a2和b2之间，即知有范围式a2>π>b2存在.由于a2和b2的最后一位小数相差1，知在1.77与1.78之间还有1.771，1.772，1.773，…，1.779存在.依次作线段a2b2中的各等分点的垂线，则知有交点d1，d2，d3，…，d9产生，又从π之值的等式中知第三级精度数字是2，而知此2处在过d1和d3的两垂线之间，即有范围式d3>π>d1存在，可以看到d3>π>d1控制的范围比a2>π>b2又缩小了许多.

第四，由于第三级的精度数字是2，在照前面的缩小和增大的过程中，可设得a3=1.773，b3=1.772，且我们认识到在1.772与1.773之间还有1.7721，1.7722，1.7723，…，17729存在，依次作线段a3b3中各等分点的垂线，则知有交点e1，e2，e3，…，e9产生，从π之值的等式中，我们了解到第四级的精度数字是4，进而知此4处在过e3和e5的两垂线之间，此即知有范围式e5>π>e3存在，可以看到e5>π>e3控制的范围比a3>π>b3又缩小了许多许多.

第五，按照上述一级接一级的垂线的作图，进而可完成第四级、第五级……的精度操作.由于本文指定的操作是从π之值的第一小数位开始，且知a1b1的十分之一是a2b2，a2b2的十分之一是a3b3，a3b3的十分之一是a4b4……我们把文中线段变化的情形定义为精度速率，则知从第一级到第二级的精度速率为110、从第二级到第三级的精度速率为1102、从第三级到第四级的精度速率为1103……如若把“圆周率诗”的算术平方根中的已知小数位设为n，则知最后的一个步骤的精度速率为110n（即10-n）.如若把线段a1b1之长确定为10 cm，则本精度操作只需进行有限的十多次就知π之值已然被缩短到了一个很小的范围之内，乃至其长缩短到比一个原子的直径还要短了许多，比如确定原子的直径为10-10 cm吧，我们仍可对其长依次进行过各等分点的垂线的尺规画作，如果感觉这个距离太小，则可从思考里放大千倍万倍再作无穷级的操作，回到现实之时，再看此距之小，定然叫人惊诧莫名.而π之值就处在这样相互靠近的两根现实的垂线之间，于是我们说此种作垂线的操作的所有要素早已浑然一体，而π之值的尺规作图就是此浑然一体的垂线与OX轴形成的交点.

总之，以上方法是过已知点作垂线的最典型的尺规作图，虽π之值的作图位置是我们在利用各级精度数字，机械地一步一步地作垂线的过程中间接得出的，但这毕竟使得化圆为方的尺规作图第一次真正意义地摆在了世人的面前.

【参考文献】

[1]黄正洪.整数度角的尺规作图[J].数学学习与研究，2017（23）：153-154.

[2]黄正洪.任意角的尺规等分[J].数学学习与研究，2018（3）：148-149.

[3]黄正洪.圆周的任意尺规等分[J].数学学习与研究，2019（2）：161.