周晓涛，马小飞，范叶森

(中国空间技术研究院西安分院，西安 710000)

0 引言

随着材料科学与工程技术的发展，复合材料在大型可展开天线领域内使用逐渐增多。“壳膜结构”(二维三向编织碳纤维增强柔性基体复合材料构成的平面结构)这一复合材料使得壳与膜结构的特性得以合二为一，具有一定的刚度与一定的柔度。

编织碳纤维在航空航天等大型轻质结构件上有着广泛的应用[1-6]。这种复合材料采用面内对称编织方式，具有一定程度的对称性，所以面内力学特性表现出“准各项同性”性质[7,8]。编织复合材料由于相互交织，具有提高层间断裂韧性和冲击损伤容限的潜力。壳膜材料更坚硬，更易于操作，并且能够保持结构完整性。因此，壳膜对许多工业应用具有吸引力。美国、加拿大以及欧洲都计划将壳膜材料应用于其卫星的反射器[9-11]。

针对壳膜结构的建模分析研究起步于20世纪末期。Fujita A、Hamada H、Maekawa Z[11]、S.V. Hoa、S.Z. Sheng、P. Ouellette等[12]、Qi Zhao、S. V. Hoa[13]相继研究了求解壳膜结构等效参数的建模方法。其后2006至今，来自马来西亚大学的A.B.H.Kueh等[14,15]与来自日本的Takahira Aoki和Keishiro Yoshida等[8]分别对壳膜的尺寸效应与渐进破坏等内容进行了研究。Leri Datashvili和Horst Baier等[16]针对壳膜的空间应用做了诸多研究，在力学建模仿真方法上采用的是有限元软件的建模分析计算。

针对求解二维三向编织碳纤维复合材料的弹性力学基本参数的研究方法多种多样，但如何在大尺寸结构上进行建模与仿真分析还需进一步研究。本文在求解碳纤维材料参数的基础上，采用材料力学的基本理论，将三向编织碳纤维复合材料等效为一种均布的、连续的等效板结构，提出的等效方法可以快速应用与，这为采用商业有限元软件进行建模分析打下了基础。在引用本文研究者们求出的材料力学特性参数的基础上，进行了等效板壳单元参数的求解，进一步采用ABAQUS，建立了反射器的有限元模型，进行了基本载荷形式下的反射器模型的仿真分析。

1 壳膜结构

壳膜结构及其单胞尺寸如图1所示。碳纤维束的材料力学性能参数由查得的碳纤维材料参数与环氧基体材料参数计算得出，如表1所示。通过复合材料力学的相关基本计算理论计算所得碳纤维束参数与A.B.H.Kueh在计算时所给出的参数[7]基本相同。

图1 壳膜结构与单胞尺寸Fig.1 Shell-membrane structure and single-cell diagram

表1 碳纤维束的材料参数Table 1 Material properties of carbon fiber

表2 单胞尺寸Table 2 Single-cell parameters

2 壳膜结构等效模型

2.1 等效厚度

等效弯曲刚度的计算公式采取类似梁、板在受到纯弯曲载荷时的计算公式。

在受到纯弯曲载荷时，梁与板模型均有挠曲线与弯矩值关系的解析解。如(1)所示，是梁在x=0处受弯矩的挠曲线方程，如(2)所示，是梁在x=l处受弯矩的方程。

(1)

(2)

式中，EI代表梁、板的抗弯刚度。

采用叠加原理，可以得到在简支梁两端同时受等大反向弯矩的挠曲线方程。挠曲线ν(x)可以通过不同点的挠曲线数值拟合得到，纯弯曲变形下，有限元计算数据应与理论解析解相同，但由于前一章有限元梁模型还存在边界效应，实际上这一步等效忽略了边界效应的影响。

通过ABAQUS中的后处理分析模块，对400mm×100mm平面壳膜结构有限元模型仿真数据采集，得到了有限元梁模型沿x方向的13条位置的平均z向位移值与两端约束弯矩。应用MATLAB进行图像绘制可以得到如图2所示FEM模型数据。将弯矩带入(2)计算可得如图1所示拟合曲线。

图2 挠曲线拟合数据Figure 2 Curve fitting data

代入求解数据，拟合曲线的表达式如(3)所示。

ν(x)=-2.5016×10-5x2+0.01x-

1.0849×10-4mm

(3)

则可计算得到：

ν″(x)=-5.0032×10-5/mm

(4)

联立上式可以得到，等效厚度t的计算公式如(5)所示。

(5)

计算结果所得t=0.0729mm。通过等效厚度与前一章节中的厚度等效计算与各项同性材料力学参数的公式，可以得出等效板模型的面内力学特性参数。

2.2 等效力学特性参数

针对二维三向编织碳纤维复合材料的材料等效参数的计算，选取采用等效层合板理论进行计算[17]。结合等效厚度的再计算，可以得到等效力学特性参数如下。

(1)面内力学特性参数

根据前述计算结果，有表3所示面内等效材料参数：

表3 有限元模型的面内力学特性等效参数Table 3 Equivalent in-plane properties of FEM

上式中各个参数的计算是由前一章在大尺寸下不同角度的仿真计算结果的平均值进一步计算得到的。

(2)面外力学特性参数

对面外力学特性参数，采取复合材料力学层合板理论的体积分数计算公式进行E3的计算。剪切模量G23,G13大小相等，采用弹性力学分析的手段求取其数值。

采用体积分数公式进行估算得到：

(6)

面外剪切模量的获取通过弹性力学基本方程的分析得到。

在求取平均值意义下的变形曲线时，即取y=0时的情况进行近似，可以得到如式(7)所示结果，结果显示，在弹性力学意义下，计算弯曲变形时，面外剪切模量对弹性体变形的影响仅在非中面的拉伸变形体现。考虑反射器模型可能受到的载荷形式以及反射器的曲面形状与曲率大小，选取剪切模量即为碳纤维的剪切模量，能够保证计算反射面模型在平均值意义下的变形数值的精度。

(7)

式中，u、v分别代表沿x,y方向的挠度变化。

(3)等效密度

等效密度为在等效厚度下的密度。前文中提到壳膜结构的等效面密度为75kg/m2，则由实际模型与等效模型的体积比与厚度比可以得到等效密度大小。

(8)

后文中，进行重力加载时，设置的等效密度即为上式结果。

2.3 等效模型的仿真验证

有限元模型的等效如图3所示。有限元模型的尺寸为400mm×100mm。编织结构的建模是通过ABAQUS中一维梁单元的阵列与裁剪得到的，整个模型均采用了B31单元设置。连续有限元模型采用了壳单元设置。

对这样的有限元模型进行弯曲变形的仿真来进行验证，可以得到如所示的仿真结果，仿真结果表明，同样大小的等效有限元板模型和等效三向编织壳膜结构的梁单元模型的计算结果与趋势是相同的。故针对反射器的建模将采用等效参数的有限元模型进行。

图3 等效的有限元板模型Figure 3 Equivalent finite element plate model

图4和表4表示了在简支弯曲变形条件下的变形的整体云图和最大变形位移，可以由图例显示与数据对照说明，等效有限元板模型相比较三向编织壳膜结构的梁模型，具有等效仿真的作用。

表4 弯曲最大变形与端部弯矩值对比Table 4 Comparison of max deformation and moment at constrain side

(a) 编织结构的有限元模型变形云图

3 壳膜反射器有限元模型的仿真分析

3.1 重力载荷变形分析

壳膜反射器在实际工程中实现方式之一是分扇区进行加工后再进行拼装，所以本节针对单层二维三向编织碳纤维复合材料构成的六分之一扇区进行建模分析。本节针对有限元模型的分析，采用重力载荷进行仿真加载，边界约束条件采用扇区两边完全固支约束。通过不断密分网格进行求解，得到的变形极值如表3所示。

表5 单元边界尺寸与仿真结果数值Table 5 Element length and simulation result

在选取单元尺寸为3mm时变形的云图如图4所示。从图中可以看出，由二维三向编织碳纤维复合材料构成的反射面在重力场下的变形呈现出了末端的“波浪状”变形。

图5 单元尺寸3mm时云图结果Figure 5 Simulation result of 3mm-long element FEM

基于等效力学特性参数计算得到的模型目前只适用于计算平均值意义下的变形分析，在进行仿真分析方面，采取重力场载荷施加是为了进行模型单元数量的确定，虽然加密网格能够提高计算精度，但也增多了计算时间，降低了计算效率，通过表 3可以看出，在选取单元尺寸在12.5mm时，得到的计算精度已经达到了 级别。

3.2 模态分析

为分析实际工况下的模态，将9根反射器支撑肋结构(以下简称肋)的末端均限制6个自由度进行约束模态分析。采取有效质量10%为主要模态的标准值，则可以得到无重力加载和有重力加载的模态频率在30Hz内的约束模态振型与主要频率及其对应的有效质量，如表6、表7所示。

表6 约束九根肋根部时的主要模态Table 6 Free main modal of shell-membrane reflector when 9 ribs are constrained

表7 重力载荷作用下约束九根肋根部时的主要模态Table 7 Main modal under gravity of shell-membrane reflector when 9 ribs are constrained

通过表格可以看出，主要模态的阶数在此标准下已经在100阶以上，说明模型的局部模态阶数非常多。同时，主要模态在有无重力时有部分差距，通常认为模态只与质量和刚度有关，应与外载荷无关，但是对于壳膜反射面，在受重力时，反射面的变形比较明显，所以在结构尺寸和形态上由较明显的变化，从而导致结构刚度矩阵的变化，进而在重力载荷下，主要模态相较于没有重力载荷情况有一定的差别。经验证，如果在ABAQUS设置中取消非线性计算选项，则在重力载荷下的模态与无重力载荷下的模态相同。本节仿真结果表明针对反射器进行设计参数改变后的模态分析验证是极为必要的。

4 结论

本文通过建立壳膜结构的等效板单元，建立了一种基于商业有限元软件的用于计算二维三向编织碳纤维复合材料的有限元模型。建立等效模型的过程中，由于选取的均是材料处于线性变形关系的情况进行等效模型的建立，故本文建立的等效模型是适用于线性材料范围内的模型。相关结论如下：

(1)采用了材料力学的基本假设，通过将壳膜结构等效为连续的板结构，求取了等效板单元的面内力学特性参数，并进行了验证。

(2)通过等效板单元，基于ABAQUS建立了反射面的有限元模型，并通过加密网格的方法，确定了选取单元尺寸与计算精度的对比关系。

(3)通过对反射器进行加载重力前后的反射器约束模态分析，给出了反射器受重力等载荷变形后主要模态发生改变的仿真结果，仿真结果表明针对反射器进行设计参数改变后的模态分析验证是极为必要的、壳膜反射器的主要模态阶数较高。