任运广

(云南师范大学附属中学 650106)

首先，给出例题：

提出要求：请同学们给出尽量多的解法.

同学们进行思考，过段时间后， 我给出第一种解法，

目的有三：其一，活跃课堂气氛，鼓励发散思维，间接告诉同学只要能够得到结果的任何视角，均可与大家分享；其二，肯定跳跃思维，此时思维活跃的同学，在第一时间就能猜得结果；其三，给出结果，明确目标，鼓励同学们积极参与课堂讨论.

待我介绍完，我所谓的解法后，抛砖引玉的效果初现，此时有第一位同学讲解了第二种解法，如下：

等同学讲解完，适时提出问题：请问同学，你是怎么想到该解法的，或者说该解法中有哪些必然性的规律？

该生在分析的过程中，进行了如下的思维过程：明确目标→转化问题→方程思想.

该分析得到了同学的认可，教室里也想起了掌声！

紧接着，继续询问，是否还能给出其他的不同解法呢？又一位同学给出了第三种解法，如下：

等该同学讲解完，我提出两个问题：

同学回答：第一个问题，我与第一个同学一样，希望得到tanα的方程，同时也想到了方程sin2α+cos2α=1，既然是sinα与cosα的比值，将1即sin2α+cos2α放在分母上，此时我希望得到一个齐次方程，于是我想到了平方，第二个问题，步骤中应该进行严谨的说明，刚才忽略了，主要是借用了前面的结果.

该同学巧妙地运用了sin2α+cos2α=1，构造出了一个特殊的齐次方程，方法巧妙，联系紧密，综合思考能力要求较高，只是步骤书写有待完善.

此时，又有一位同学给出了另外的解法，如下：

该同学书写完步骤后，补充到：既然我们要解出sinα与cosα的值，即要得到sinα与cosα的两个方程，于是由(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα，结合α的范围可以实现sinα+cosα与sinα-cosα之间的联系，得到上述的解法.

该方法通过平方这个巧妙的运算技巧，将sinα+cosα与sinα-cosα联系在一起，得到方程，实现问题的解决，书写步骤完整.

继续询问是否有其他的处理方式，有同学给出以下解法：

该解法从辅助角出发，看似与目标没有联系，待处理完第一步时，再结合已知条件，有种豁然开朗的感觉，有点柳暗花明的味道，比较符合处理问题的思维情景，是接地气的一种解法.

其思维过程简述为：对已知条件作出自己能做的处理(处理时并不知道能得到什么样的效果)→再结合已知条件→发现条件与目标之间的联系→问题得到解决.

通过前面五种方法的讲解，同学的思维逐渐活跃起来，处理问题的方式也得到了启发，参与的热情越来越高，陆续有同学介绍了几种如下方法.

上述的两种处理问题的过程中，共同选择了万能公式作为中间过度，实现了条件与结果之间的联系，问题得到了解决.这种解法要求对万能公式有一定的认知，要求较高，拓展了同学们的思维视角，让同学们体会到了三角恒等变换处理过程中变中不变的真谛，激发了同学们对数学学习的热情.

最后我给出了一个解析的方法如下：

该解法本质上与解法二相同，只是知识展示形式上有所不同，姑且作为一种解法，解法九知识的起点于三角函数的基本概念，回归本质.

课后反思:高三复习阶段，教师选择例题就应该选择如本文介绍的例题一样，可以有处理问题的不同的视角，使不同层次的同学等到相应的发展，通过不同层次视角的探索等到不同的收获，在收获中体会学习的快乐！