代帆，刘小佑，2

(1.南华大学 数理学院，湖南 衡阳，421001; 2.湖南科技大学 数学与计算科学学院，湖南 湘潭，411201)

传染病对人类健康和社会发展具有严重的危害，艾滋病(AIDS)就是危害极大的传染病之一。艾滋病的传播途径主要有血液传播、毒品注射传播、母婴传播和性接触传播等。自1981年艾滋病被发现以来，其在全球的传播急剧扩散。随着国际社会加强艾滋病的科研合作和攻关，其防治工作取得重大进展，但目前仍没有艾滋病疫苗和能治愈艾滋病的手段。

近年来，许多专家学者对艾滋病的传播做了深入研究，提出了各种刻画艾滋病传播规律的数学模型[1]。统计数据表明性接触已经成为我国艾滋病的主要传播途径之一，并且经男男性接触传播的比例也日渐上升[2]。随着艾滋病防治工作和宣传工作不断深入，人们对艾滋病的认识更加清晰、深刻。已有相关文献研究表明：人们对艾滋病的认识程度及主观安全意识在艾滋病的防治中能起到重要作用[3-7]。

本文将考虑一类具有意识分类的艾滋病性传播模型。该模型具有常数输入，指数死亡和标准发生率，并考虑性传播因素和意识分类因素。现将所研究的区域中人口分为六类：易感者女性(Sf)，易感者男性(Sm)，有意识感染者(I1)(有艾滋病安全意识，不会传染别人及导致后代受感染的感染者)，无意识感染者女性(I2f)(没有艾滋病安全意识且不知道自己已经感染的感染者)，无意识感染者男性(I2m)，艾滋病患者(A)。此模型的主要前提假设为：模型将考虑性传播(男女异性性传播和男男同性性传播)，并假设艾滋病只在易感者和无意识的感染者之间传播，且新感染者都是无意识的感染者。具体模型如下：

(1)

其中：假设人口输入常数是Λ，女性输入比例为ε(0<ε<1)。记总人口数为N，也即N=Sf+Sm+I2f+I2m+I1+A，d为自然死亡率，τ为因病额外死亡率，θ为感染者从无意识向有意识的转化率，δ为艾滋病感染者成为艾滋病患者的转化率，β1，β2和β3分别代表女性易感者(Sf)和男性无意识感染者(I2m)、男性易感者(Sm)和女性无意识感染者(I2f)、男性易感者(Sm)和男性无意识感染者(I2m)之间的有效接触率。

预防和治疗是传染病的防治策略。众所周知疾病的预防比治疗更重要。传染病的预防原则有管理传染源、切断传播途径、保护易感人群等，由此可知加强人们对传染病的认识对预防该传染病具有重要意义。

近年来我国艾滋病传播途径发生了一些改变。输血传播已经基本阻断，性传播已成为主要的传播途径。2017年报告感染者中经异性传播占比为69.6%，男性同性传播为25.5%(见http://www.chinacdc.cn/mtbd_8067/201811/t20181128_197565.html)。

基于上述原因，本文提出的有关艾滋病传播的数学模型(1)是有现实意义的。因为人们对艾滋病的认识(体现在模型中的人群意识分类)和性接触传播途径(含异性和男男同性)是目前影响艾滋病传播的两大主要因素。

下文将讨论上述模型(1)的无病平衡点和地方病平衡点的存在性及其稳定性。

1 模型平衡点的存在性

为方便起见，引入记号a1=δ+θ+d，a2=δ+d，a3=τ+d。模型(1)的平衡点可通过求解下面方程组得到。

(2)

若I2m>0，可推出(以下加*号是为了区别第一种情形下的解)

以及一个关于I2m的一元二次方程，

(3)

其中：

通过计算，可定义基本再生数[8]为

定理1若01，则模型(1)具有唯一地方病平衡点。模型(1)总有无病平衡点。

证明把方程(3)中常数K改写成

K=-Q(R0-1)。

另引入一元二次函数

显然，S(I2m)=R0与一元二次方程T(I2m)=0同解。一元二次函数S(I2m)开口向上，且有S(0)=1，其顶点坐标为(I2m-min，Q(I2m)-min)，其中

若0

因而有

由一元二次函数图像可知方程S(I2m)=R0无正解，即模型(1)无地方病平衡点。

2 模型平衡点的稳定性

首先给出1个下文中将要用到的稳定性判定定理。

引理1若方程组的系数矩阵的所有特征值均具有负实部，则方程组的零解渐进稳定[9]。

计算可得方程组(1)的Jacobian矩阵为

(4)

定理2若0

证明由矩阵(4)可得模型(1)在无病平衡点处的特征多项式为

λ1=-d，λ2=-d，λ3=-a1，λ4=-a2，λ5=-a3，

当0

计算可得特征方程为

P(λ)=(λ+a2)(λ+a3)(λ+d)(λ+d)[λ2+(L+M)λ+LM-H]=0

(5)

其中:

显然有L>0和H>0。由方程组(2)中的4式可知

即可得M>0。现在讨论特征方程(5)中因式λ2+(L+M)λ+LM-H。考虑以下一元二次方程:

x2+(L+M)x+(LM-H)=0。

其判别式

Δ=(L+M)2-4(LM-H)=(L-M)2+4H>0。

另据韦达定理有

x1+x2=-(L+M)<0，

(6)

将方程组(2)中第4式的变形式

代入(6)式得

最后简化得

这表明特征方程(5)中二次因式项有2个负实根。

综上可知特征方程(5)存在6个负实根，满足引理1，故定理成立。

3 结语

本文考虑了一类具有意识分类的艾滋病性传播(含异性和男男同性)模型。模型带有常数输入、指数死亡率和标准发生率，假设新的染病者都是通过性接触传播的，并且都是无意识的感染者。通过分析与计算，给出了模型的基本再生数，并证明了模型的无病平衡点和地方病平衡点的稳定性。

对模型(1)的研究表明，在模型的假设前提下，艾滋病能够得到有效控制，不会形成突发的高流行病态势，而是最终形成地方病。另外模型的基本再生数表达式

式中的β1，β2和β3(分别表示三类性接触的有效接触率)越小，基本再生数也就越小。因此，想办法将它们减少，有利于降低艾滋病的流行。加强有关艾滋病的预防宣传，让人们了解艾滋病的传播途径并具有艾滋病预防意识，这样不但可以减小现有的无意识群体的数量，也能减少高危性行为，即可通过采取保护措施来降低有效接触率。这表明本文对模型(1)的研究具有现实意义。

总体来说，与其他国家相比，我国艾滋病疫情处于低流行水平。随着生物和医疗科技的发展，一旦艾滋病疫苗的研制和艾滋病治疗方法取得突破，加上人们对艾滋病的认识加强，会主动采取各种有效的预防措施，那么人类最终是可以战胜艾滋病的。