高丽， 姜美杨

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

1 引 言

不定方程也常称为丢番图方程，早在公元3世纪古希腊丢番图就已经开始了对不定方程研究，到如今不定方程的内容已经十分丰富[1-4].

设C,D,E∈N，C为无平方因子，关于不定方程

Cx2+D=Eyn(x,y,n∈N,n≥2)

的求解问题是数论中的一个重要问题，许多研究者发现若是用代数数论的方法解决这类不定方程，会取得较好的结果[5-11],本文运用同余理论以及代数数论等方法证明了不定方程x2+4096=4y13无整数解.

2 主要引理

引理1[4]设M是唯一分解整环，α,β∈M,(α,β)=1,若αβ=γk,γ∈M,正整数k≥2则，

α=ε1μk,β=ε2νk,μν∈M

其中ε1,ε2是M中的单位元素，并且ε1ε2=εk,ε为单位元素.

引理2[10]不定方程

x2+1 024=y13

无整数解.

3 定理及证明

定理不定方程

x2+4 096=4y13

(1)

没有整数解.

证明下面分为x≡1(mod2),x≡0(mod2) 两种情况讨论.

(1) 当x≡1(mod2)时，在Z[i]中，(1)式可写为

(x+64i)(x-64i)=4y13,x,y∈Z

设δ=(x+64i,x-64i),由δ|(2x,128i)=2, 可知δ只能取1,1+i,2;由于x≡1(mod2) ，所以x+64i≡1(mod2),因此δ≠2;如果δ=1+i,则N(1+i)|N(x+64i),即2|X2+4 096;然而这与x≡1(mod2)矛盾;所以δ=1.因而由引理1可知

x+64i=4(a+bi)13,x,a,b∈Z

因此

x=4(a13-78a11b2+715a9b4-1 716a7b6+1 287a5b8-286a3b10+13ab12)

64=4b(13a12-286a10b2+1 287a8b4-1 716a6b6+715a4b8-78a2b10+b12)

(2)

所以易得b=±1,±2,±4,±8,±16.

b=1时，由(2)式可知

15=13(a12-22a10+99a8-132a6+55a4-6a2)

上式若要成立，那么必须有13|15,矛盾，因此b≠1.

b=-1时，由(2)式可知

-17=13(a12-22a10+99a8-132a6+55a4-6a2)

上式若要成立，那么必须有13|-17,矛盾，因此b≠-1.

b=2时，由(2)式可知

8-212=13(a12-88a10+1 584a8-8 448a6+14 080a4-6 144a2)

上式若要成立，那么必须使得13|8-212，矛盾，因此b≠2.

b=-2时， 由(2)式可知

-8-212=13(a12-88a10+1 584a8-8 448a6+14 080a4-6 144a2)

上式若要成立，那么必须使得13|-8-212,矛盾，因此b≠-2.

当b=4时，由(2)式可知

4-412=13(a12-352a10+25 344a8-540 672a6+3 604 480a4-6 291 456a2)

上式若要成立，那么必须使得13|4-412,矛盾，所以b≠4.

当b=-4时，由(2)式可知

-4-412=13(a12-352a10+25 344a8-540 672a6+3 604 480a4-6 291 456a2)

上式若要成立，那么必须使得13|-4-412，矛盾，所以b≠-4.

当b=8时，由(2)式可知

2-812=13(a12-22a1082+99a884-132a686+55a488-6a2810)

上式若要成立，那么必须使得13|2-812，矛盾，所以b≠8.

当b=-8时，由(2)式可知

-2-812=13(a12-22a1082+99a884-132a686+55a488-6a2810)

上式若要成立，那么必须使得13|-2-812,矛盾，所以b≠-8.

当b=16时，由(2)式可知

1-1612=13(a12-22a10162+99a8164-132a6166+55a4168-6a21610)-

21 651 921 285 435=a12-352a10+25 344a8-540 672a6+3 604 480a4-

6 291 456a2-21 651 921 285 435=-32×5×7×17×97×41 683 601=

a2(a10-22a8162+99a6164-132a4166+55a2168-6×1610)

上式若要成立，则a=±1或a=±3.

当a=±1时，代入上式得

a2(a10-22a8162+99a6164-132a4166+55a2168-6×1610)=

-6 363 054 675 527≠-21 651 921 285 435

矛盾，所以a≠±1.

当a=±3时，代入上式得

a2(a10-22a8162+99a6164-132a4166+55a2168-6×1610)=

-41 811 750 382 095≠-21 651 921 285 435

矛盾，所以a≠±3.

所以b≠16.

当b=-16时，由(2)式可知

-1-1612=13(a12-22a10162+99a8164-132a6166+55a4168-6a21610)

上式若要成立，那么必须使得13|-1-1612，矛盾，所以b≠-16.

所以当x≡1(mod2)时，不定方程(1)无整数解.

(2)当x≡0(mod2)时，设x=2x1,x1∈Z, 代入(1)时可得

x12+1 024=y13

由引理2的结果可以知x12+1 024=y13无整数解，即x≡0(mod2)时，方程(1)没有整数解.

综上可以得到，不定方程x2+4 096=4y13无整数解.