牛德福

摘 要：还原法是数学学习中非常重要的一种方法，对帮助学生掌握数学思想、提高学生数学素养有很大的作用。运用还原法解决数学问题时，要针对不同类型的问题使用不同的方法：单个对象——循序渐进，多个对象——明确关系，对象有定有变——确定核心，再次还原——验证答案。

关键词：还原法;数学教学;应用;教学效果;数学素养

中图分类号：G623.5 文献标志码：A文章编号：1008-3561（2020）02-0038-02

根据新课标要求，数学教师要重点培养学生的思维能力和解决问题的能力，从而加深学生对知识的理解，使学生从多个角度分析问题，在解决问题的过程中提高学生的逻辑思维能力和发散思维能力，最终达到提高学生整体数学素养的要求。所以，数学教师在教学过程中可以运用还原法来实现提高学生数学素养的目标。在数学学习中，解决问题的方法多种多样，一般来说都是“前推后”，即通过已知条件向后推算出结果。而很多问题的解答，需要学生从最后的结果出发，利用互逆的关系，从后向前推算出结果，从而解决问题，这就是还原法，也叫逆推法。还原法是数学学习中非常重要的一种方法，对帮助学生掌握数学思想、提高数学素养有很大的作用。本文结合教学实践，对还原法在数学教学中的应用进行探究。

一、单个对象——循序渐进

所谓单个对象是指在数学问题中，题目的题干中只有一个主语，这个主语本身及其数量经过一些相应的变化后，最后求的仍然是主语的总量，如比较常见的“批发一些图书”和“购买一些文具、水果”等。在这样的问题中，主语都是一个，也就是说，只需要对这个单个对象进行问题的分析和计算。比如，有这样一道数学问题：“一个书店的老板采购了一批图书。第一次，老板将图书的一半卖给客户;第二次，老板把剩下图书的一半和另外20本卖给客户;第三次，老板把剩余的图书的一半少了5本卖给顾客。最后，书店一共剩30本书。求这批图书采购进来的时候一共有多少本？”解决这个问题时，教师首先要让学生分析题干。学生通过分析题干发现，这个问题中只有一个主语，就是图书，而且不管图书的量如何变化，最终要求的仍然是图书的总量。所以，为了解决这个问题，教师可以先让学生循序渐进地了解卖图书的整个流程。教师引导学生分析整个流程时，可以让学生画出图书数量具体变化的流程图：总的书的量除以2→余下的书的量除以2→减去另外的20本→剩下的书的量除以2→加上少给的5本→书店剩余书的数目是30本。然后，引导学生依据此流程图，根据已知结果和变化量进行逆向倒退，从而求解。教师引导学生画出流程图之后，要让学生使用还原法对流程图进行倒推，即从最后的结果出发往前倒推。一般来说，就是加法变减法或减法变加法，乘法变除法或除法变乘法，一步步地进行推算，最终得到答案。另外，在解决问题的过程中，教师要告诉学生注意题目中出现的混合运算，在必要时可以带领学生回顾混合运算的运算顺序，以避免出现运算顺序上的失误。

二、多个对象——明确关系

题目中有多个主语而且数量均发生变化的题目称为多个对象问题。解决这类问题时，需要明确每个对象和相应的变化数，并确定这些对象之间的关系。比如，有这样一道题目：“猪大和猪二各有一些白菜，猪大把它的一半白菜给了猪二，结果猪大有10棵白菜，猪二有30棵白菜。那么，猪大和猪二最开始分别有多少棵白菜呢？”在这个问题中，题目中的主语包含猪大和猪二，而且猪大和猪二的白菜数量均发生了变化，需要解答的问题是两人各自的白菜总量。要想解决这个问题，应该考虑对两个对象分别进行倒推：猪大的白菜减少一半后是10棵，也就是：豬大的白菜÷2=10（棵），而猪二的白菜+猪大的白菜的一半=30（棵）。根据此列式，可以算出猪大之前的白菜是20棵，可是猪二的白菜数量没法通过倒推的方式算出来，但猪大和猪二的白菜的总数没有变，所以可以用40减去20，算出猪二之前有20棵白菜。

三、对象有定有变——确定核心

当题目中的多个对象既有定量又有变量时，教师要带领学生多次推敲，找出定量与变量之间的关系，发掘题干中所隐藏的信息，避免无关信息的干扰，确定核心对象，使问题解决的思路有迹可循。所以，解决这类问题时，教师务必引导学生认真分析题干，吃透题目中的已知条件，发掘隐藏信息，选择合适的解题方法。比如，有这样一道数学问题：“超市昨天采购了一箱苹果，苹果和箱子共重102千克，今天上午卖出一半苹果，今天下午又卖出剩下苹果的一半，最后苹果和箱子的总量是27千克，请求出这箱苹果最初的重量及箱子的重量。”解答这个问题时，教师首先要引导学生仔细分析题干：苹果是主语，但最终的主语其实是苹果的重量及箱子的重量的总和。其中，苹果的重量属于变量，箱子的重量属于定量。然后，教师应当引导学生选取第一未知量——一箱苹果，并分析这箱苹果的重量的变化，先求这箱苹果的重量。具体求解过程：已知苹果和箱子共重102千克，卖出后，剩下的苹果和箱子总共有27千克。由于箱子重量不变，所以重量的变化是苹果引起的，也就是说苹果被卖掉了75千克。同时，根据题意可知，75千克是苹果总量的3/4，通过这个比例可以算出苹果最初有100千克。那么根据已知条件，箱子的重量则是用102减去100，即2千克。

四、再次还原——验证答案

当未知对象求解完毕后，由于对象符合题目的已知变化的关系，所以教师可以引导学生再次利用还原法对所求答案进行验证。比如，有这样一道数学问题：“新华书店购进一批图书，第一季度卖给顾客的量比总量的1/2少15本，第二季度卖给顾客的量比第一季度余下的总量的1/2多10本，目前还剩30本，请求出新华书店购进这批图书的总量。”在这一问题中，图书是主语，图书总量是未知量，根据关系可得[（30+10）×2-15]×2=130。在获得这一答案之后，教师应继续引导学生进行检验，即采用还原法进行倒推。这种逆向思维属于发散思维的一种，能够提高学生的思维能力，提升学生的数学素养。运用这样的逆向思维对答案进行检验，既可以确保答案的准确性，还可以帮助学生巩固所学知识，有助于提高学生的学习质量，有助于培养学生的创新能力。

五、结束语

总而言之，在新课改背景下以及人才发展需求下，数学教师应当教给学生一些具体解决问题的方法，应当重点培养学生的思维能力。尤其现在很多数学问题都存在一定的难度，如果从正面入手解决会比较困难，不妨转换思考角度，找到新的思路和方法，开拓新的知识领域，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养。教师可以积极采用还原法，帮助学生解决数学问题，使学生真实感受解决问题的过程。采用还原法解决数学问题时，因为题目中往往包含不断改变的主语，而且主语的数量也会发生变化，所以教师要引导学生学会对其进行分类，还可以适当地画图，起到辅助解答的作用，从而提高解题效率。作为数学教师，要对每一种数学学习方法进行透彻的分析和研究，不断提高自己的教学水平。只有这样，才能讓学生在数学学习中获得很好的体验，才能培养学生的数学素养。

参考文献：

[1]李玉媛.还原法在小学数学解题教学中的应用[J].小学教学参考，2014（11）.

[2]毛凯捷.小学数学解题教学中还原法的运用[J].教书育人，2016（16）.

[3]赵瑞生.基于数学基本活动经验的教学设计——以《倒推的策略》为例[J].数学之友，2014（03）.

[4]杨明媚.数学建模：解决问题的思维路径——以《解决问题策略——倒推》教学为例[J].江苏教育研究，2014（05）.

Exploration of the Application of Reduction Method in  Mathematical Problem-solving Teaching

Niu Defu

（Yigangchuan Primary School， Tongwei County， Dingxi， Gansu Province， Tongwei 743322， China）

Abstract： Reduction method is a very important method in mathematics learning， which plays a very important role in helping students master mathematics thought and improving their mathematics accomplishment. When using reduction method to solve mathematical problems， different methods should be used for different types of problems as follows： single object——step by step， multiple objects——define the relationship， object defined and changed——determine the core， reduction again —— verify the answer.

Key words： reduction method; mathematics teaching; application; teaching effect; competence in mathematics