李创第 王博文 昌明静

摘要：为建立粘弹性耗能结构及其保护系统的抗震分析与设计方法，基于虚拟激励法和精细积分法，对设置支撑的五参数Maxwell阻尼减震结构系统进行了系统研究。首先，对设置支撑的五参数Maxwell阻尼器进行建模并引入结构动力方程中，构造设置支撑的五参数Maxwell阻尼耗能减震系统;然后，利用虚拟激励法分析结构的非平稳随机地震激励;最后，利用精细积分法解出五参数Maxwell阻尼耗能减震结构的非平稳地震响应方差。

关键词：五参数Maxwell阻尼器;耗能减震系统;非平稳地震响应;虚拟激励法;精细积分

中图分类号：TU3113DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2020.01.008

0引言

地震从发生到结束的整个过程，一般都是非平稳随机过程。为了便于计算和分析，通常将这些非平稳随机过程中比较平稳的一段视为平稳随机过程。因此，平稳激励是研究随机振动的基础，但是这种简化有时候会使分析结果产生较大误差。平稳随机激励主要有白噪声激励模型、Kanai-Tajimj谱地震激励模型、Clougtl-Penizien模型、胡聿贤模型等，其中Kanai-Tajimj谱地震激励模型具有符合地震动特点和表达式相对简单的特点而受到广大科研人员的研究。为此，非平稳随机地震响应分析的研究具有十分重要的实际意义。

粘弹性阻尼器的力学性能研究很有必要，描述粘弹性阻尼器的力学模型主要有Maxwell、GHM、分数导数Kelvin等。基于Maxwell模型，它可扩展到五参数Maxwell阻尼器模型，该模型在拟合粘弹性本构关系试验时具有高精度，为了提高精度和工程实际应用，一般要考虑支撑的影响。

在非平稳随机地震激勵下，一般粘弹性耗能减震变频结构常用非扩阶近似法等作为分析方法，但其精度和使用范围受到限制，而虚拟激励法已被广泛应用于结构动力响应、波传播、刚性问题、偏微分方程的求解等众多领域，也被应用于没有粘弹性阻尼器的结构受非平稳随机激励响应的精确高效计算分析中，但是至今尚未应用于含有粘弹性阻尼器的消能减震结构的结构响应和抗震动力可靠性分析。因此，将此方法应用于本文分析具有重要的工程意义。

钟万勰提出的精细积分法，对于计算机求解指数矩阵的精度有显著的提高，能有效降低因精细划分所引起的误差;这种积分方法虽然不是提供解析解公式，但其数值计算结果却是高度准确的。

为建立粘弹性耗能结构及其保护系统的抗震分析与设计方法，基于虚拟激励法和精细积分法，对设置支撑的五参数Maxwell阻尼减震结构系统进行了系统研究。

1结构运动方程

设置支撑的五参数Maxwell阻尼耗能减震系统如图1所示。在随机地震激励作用下，结构运动方程可

2基于虚拟激励法的非平稳随机地震响应分析

根据林家浩提出的虚拟激励法，如果构造虚拟地震激励

T（τ）=e_Hτ（34）

Z_p（t）为方程（31）的特解。

3精细积分计算

3.1矩阵T（τ）的精细计算

将积分步长τ内部细分为m=2^N等分：

△t=τ/m=2^-Nτ（35）

一般取N=20，于是△t≈10^-6τ，△t一般远小于结构的所有自振周期，将式（35）代入式（34）得：

以上两式表明可按下列方式计算T_a1，T_a2，…，T_aN，从而得到T（τ）：

T_ai=2T_a，i-1+T_a，i-1T_a，i-1（39）

3.2HPD-L精细积分格式

假设在所有的时间段t∈（t_k，t_k+1）上荷载变化量都是线性变化的，可以表示为：

f₀（t）=r₀+r₁（t-t₀） （40）

式中，r₀与r₁是时不变向量，r₀是每个时刻上的初始值，r₁是每个时刻问的斜率，则方程（31）的特解为：

Zp（t）=（H^-1+It）（-H^-1r₁）-H^-1（r₀-r₁t_k）（41）

将式（41）代入式（33），获得用于精确积分方法的HPD-L格式

Z（t_k+1）=T（τ）[Z（t_k）+H^-1（r₀+H^-1r₁]-H^-1（r₀+H++-1r₁+r₁τ） （42）式中，τ=t_k+1-t_k，为积分步长。

3.3HPD-S精细积分格式

r₁与r₂是时不变向量，将式（44）代入方程（31）右端，可解得方程的特解为：

Z_p（t）=asin（ωt）+bcos（ωt） （46）

式中，

a=（ωI+H²/ω）^-1（r₂-Hr₁/ω） （47）

b=（ωI+H²/ω）^-1（-r₁-Hr₂/ω） （48）

于是得到精确积分方法的HPD-S格式：

Z（t_k+1）=T（τ）[Z（t_k）-asin（ωt_k）-bcos（ωt_k）]+asin（ωt_k+1）+bcos（ωt_k+1） （49）

式中，τ=t_k+1-t_k。

4算例

如圖1所示，设置支撑的五参数Maxwell阻尼器单自由度减震系统，其结构的基本参数为：质量m=42500kg，刚度k=145.43×10⁵N/m，阻尼比S₀分别取0.02、0.04、0.08、0.20.五参数Maxwell阻尼器的基本参数为：平衡刚度k₀=0.36×10⁵N/m，支撑刚度k_b=1.5k，五参数Maxwell阻尼器两分支单元的刚度和阻尼分别为k₁=42.08×10⁵N/m，c₁=0.83×10⁵N·s/m;k₂=6.87×10++5N/m，c₂=2.15×10⁵N·s/m。x_f（t）的功率谱密度取Kanai-Tajimi谱：

调幅函数分别取为阶跃型调制滤过白噪声型调幅函数如图2-图7、Shinozuka-Sato型调幅函数如图8一图13，计算参数取为：

g（ω，t）=g₁（ω，t）=1

g（ω，t）=g₂（ω，t）=e^-0.6t—e_-t

由算例可以得到：阻尼比对结构响应有很大的影响。

在阶跃型和Shinozuka—Sato型非平稳随机地震激励下，如图2-图4和图8-图10所示，可以得到：阻尼比越大，响应方差越早达到峰值;伴随着阻尼比的变化，结构的位移、速度和阻尼器受力响应方差则发生相反的变化。

在结构的其他参数不发生变化的情况下，r_b分别取0.5、0.8、1.2、10、∞五种情况，支撑刚度k_b=r_bk，r_b为支撑刚度与结构刚度的比值，阻尼比取S₀=0.1，研究支撑刚度对结构响应的影响。

由算例可以得到：支撑刚度对结构响应有很大影响。

在阶跃型和Shinozuka-Sato型非平稳随机地震激励下，如图5-图7和图11-图13所示，可以得到：响应峰值发生时间不随支撑刚度变化而变化;伴随着支撑刚度的变化，结构的位移、速度响应方差发生相反的变化，阻尼器受力响应方差则发生相同的变化。

对于本算例，可任选其中一种积分格式计算，这里选取HPD-L精细积分格式计算。当支撑刚度k_b>10k的情况，按k_b=∞进行近似取值;当k_b较小时，按k_b的实际刚度取值。

5小结

为建立粘弹性耗能结构及其保护系统的抗震分析与设计方法，本文基于虚拟激励法和精细积分法，对设置支撑的五参数Maxwell阻尼减震系统进行非平稳响应分析。

1）在阶跃型非平稳随机地震激励下，阻尼比越大，结构的响应方差越提前达到稳态;在Shinozuka-Sato非平稳随机地震激励下，结构的位移、速度和阻尼器受力响应都存在峰值效应，且阻尼比越大，峰值出现的时间越提前。

2）支撑刚度对粘弹性耗能结构有重要影响，在支撑刚度较耗能结构刚度很大情况下，支撑刚度对结构响应的影响效果不再增加，一般情况下，应考虑有限支撑刚度对结构响应的影响。在Shinozuka-Sato非平稳随机地震激励下，结构的位移、速度和阻尼器受力响应峰值出现时间不随支撑刚度变化而变化。

此方法具有求解过程简单，效率高等优点，为五参数粘弹性阻尼耗能结构及其保护系统在非平稳随机地震激励下的抗震动力响应分析提供了参考。