高中数学立体几何高频考点分析

2020-02-12张静洁

中学生数理化(高中版.高考理化) 2020年1期

■张静洁

在高考数学试题中，立体几何部分占有较大的分值，但是有很多考生这一部分的得分较低，体现出学生对于空间立体几何知识的学习存在较大的困难。下面就来分析立体几何的相关知识，希望能为学生的学习提供有价值的参考。

一、对立体几何知识的概述

立体几何的学习内容包括：建立空间想象力，了解几何体的结构特点；能运用所学知识对现实生活中物体的结构进行简单的概述，以提高并且巩固关于三视图的理解与学习；掌握空间中点、线、面的位置关系，了解垂直与平行的关系及基本的性质与判定方法；能够正确运用数学的语言描述集合对象的位置关系，同时可以解决一些简单的问题。

二、对立体几何高频考点的分析

案例1：某一四棱锥的三视图如图1所示，则在四棱锥中有____个直角三角形。

图1

解：由三视图可以得到四棱锥P-ABCD，如图2所示。在四棱锥P-ABCD中，PD垂直于底面，所以侧面有两个直角三角形。此外，根据线面垂直定理可得，另外一个面也是直角三角形。所以一共有三个直角三角形，分别为△PAD，△PCD，△PAB。

图2

评析：这道题考查的是空间想象力，其重点考查的是空间几何体点、线、面的位置关系，在解题的过程中，可以把几何体放在长方体或者正方体里进行还原，观察线线、线面垂直的关系。

案例2：在三棱柱ABC-A1B1C1里，CC1⊥平面ABC，AA1，AC，A1C1，BB1的中点分别是D、E、F、G，AB=BC= 5，AC=AA1=2。

(1)证明：AC⊥平面BEF。

(2)求二面角B-CD-C1的余弦值。

(3)求证：平面BCD和直线FG相交。

解：(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为CC1⊥平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形。又E、F分别为AC，A1C1的中点，所以AC⊥EF。又因为AB=BC，所以AC⊥BE。因此AC⊥平面BEF。

图3

(2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1，因为CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC。又因为BE⊂平面ABC，所以EF⊥BE。如图3 所示，建立空间直角坐标系E-xyz。根据题意，可以得到点B(0，2，0)，点C( -1，0，0)，点D(1 ，0，1)，点F(0 ，0，2)，点G(0 ，2，1)，所以(2 ，0，1)，= (1 ，2，0)。设平面BCD的法向量为n=(a，b，c)，所以所以令a=2，则b=-1，c=-4。所以平面BCD的法向量n=(2，-1，-4)。又因为平面CDC1的法向量为= (0 ，2，0)，所以cos=。由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为。

(3)平面BCD的法向量为n=(2，-1，-4)，因为点G(0 ，2，1)，点F(0 ，0，2)，所以= (0 ，-2，1)。因为n·=-2，两者不垂直，GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，所以GF与平面BCD相交。

评析：问题(1)考查的是几何体的垂直问题，在证明平行与垂直关系的过程中需要运用化归和转化的思想，经常见到的类型有证明面面平行、线面平行，在证明的过程中，需要转变为证明线线平行的问题。证明线面垂直时，需要转变为证明线线垂直的问题；在证明线线垂直时，需要转变为证明线面垂直的问题。问题(2)主要考查的是建立空间直角坐标系，通过利用空间向量解出二面角的平面角，把几何的问题转变为代数的问题进行解答，突出代数运算和几何直观两者之间的融合，即应用数形结合的理念，找出数学知识之间的联系，提高对数学的理解能力。

三、对立体几何的学习策略分析

1.深入学习数学知识，巩固数学内容：数学中的概念是数学知识最主要的部分，若学生在学习时没有了解并且牢牢掌握课本里的公式定理，那么对数学知识的记忆便会非常混乱，最终将概念混为一谈。所以，同学们要重视基础的知识，同时还要进行深入的学习，深入分析概念。

2.学会绘制辅助图形，提高解题速度：依据立体图形理解题目给出的信息，在明白题意以后，进一步分析立体图形的面、线、角等关系。同学们在做题过程中，常常不知该从什么地方入手，其中的原因是对图形的认识不够，思维紧闭。基于这种现象，同学们在解题的过程中，可以根据题目给出的信息，把每个角、点、边、线、面之间的联系总结出来，为绘制辅助线打好基础，进而提高解题的效率。

3.转换图形，学会运用运动的观点进行解题：要用灵活的思维学习立体几何，才可以应对不同的题目。在“最值和范围”有关问题中，可以把图形进行改变，通过运用运动变化的原理，对问题进行全面的分析，用这样的解题思路，可以快速并且正确地得出答案。