基于FEMM的径向井压裂裂缝扩展模拟研究

2020-02-11张耀峰邵祖亮

油气藏评价与开发 2020年1期

张耀峰，邵祖亮，王涛，伯音

（1.武汉大学土木建筑工程学院，湖北武汉430072；2.中国石油大学（华东）石油工程学院，山东青岛266580）

径向井压裂是一种新兴的油气增产技术，其将径向井技术与水力压裂技术高效结合，在一定程度上可以使水力裂缝定向扩展。目前，水力压裂技术已广泛应用于煤层气开发中，但由于储藏条件复杂，无法达到预期效果[1]。为达到更好的压裂效果，径向井压裂技术开始应用于煤层气开发[2-3]，且已经在部分低渗透、浅埋藏油气田中进行了先导性试验[4-6]，但径向井引导水力裂缝扩展的机理仍不是十分明确。现阶段，国内部分学者初步探索了径向井引导水力裂缝扩展的机理。田雨等[7]基于多分支径向井压裂裂缝起裂压力分析和塑性区理论，推导出了多分支径向井在地应力条件下引导裂缝定向扩展的准则。李小龙等[8]基于扩展有限元（XFEM，Extended Finite Element Method）研究了径向井压裂裂缝起裂与扩展的规律，明确了多个径向井沿垂向分布或水平分布时水力裂缝的形态。刘海龙等[9]建立了一个新模型，这个模型同时考虑套管和水泥环的井周应力分布新，并利用新模型研究了不同条件下起裂压力的变化。曲占庆等[10]在多分支径向井压裂裂缝形态研究的基础上，揭示了径向井排列方式对水力压裂裂缝扩展的影响。刘晓强等[11]利用ABAQUS 建立了径向井辅助水力压裂模型，分析了水平地应力差、压裂液排量、杨氏模量、压裂液黏度和泊松比等因素对水力压裂裂缝扩展的影响。郭天魁等[12-13]研究了垂向井距对径向井引导水力裂缝扩展的作用，为径向井的钻取提供了理论支持。

目前有限元法已经广泛应用于工程模拟中，然而在模拟水力压裂的过程中，裂缝面需要沿着单元面和单元节点，这导致裂缝尖端附近的网格需重新划分，降低了计算速度。因此，有学者在有限元方法中引入了统一分割概念，衍生出了广义有限元（GFEM, Generalized Finite Element Method）[14]，XFEM（Extended Finite Element Method）[15]，FEMM（Finite Element-Meshfree Method）[16]等数值方法，其中FEMM是一种结合了有限元法和无网格法的方法。

2007 年RAJENDRAN 等[16]首次提出了FEMM。FEMM 结合了有限元法和无网格法两种数值方法的优势[17]，主要包括：①能够得到清晰的三维裂缝扩展形态；②相对有限元法，模拟过程中无需重新划分网格，算法稳定快速；③单元的尺寸不影响非平面裂缝的扩展精度；④相对于商业软件ABAQUS 中的XFEM，FEMM 在模拟裂缝扩展过程中无需改变总体矩阵和自由度。

目前国内外学者利用FEMM 进行的研究相对较少，因此首先介绍了FEMM 的基本理论，然后基于FEMM 和现场数据开展了不同角度的径向井压裂模拟，研究了水力裂缝在径向井作用下的扩展规律。

1 FEMM的基本原理

一个具有4 个节点P={P1，P2，P3，P4}的岩石四面体单元Ω被水力裂缝面S切割，如图1所示。裂缝面切割四面体单元的剖面图如图2所示，图中存在3种不同类型的单元和2 种不同类型的节点。3 种单元包括：裂缝单元、桥接单元和有限元单元。被裂缝面穿过的四面体单元称为裂缝单元，桥接单元为紧邻裂缝单元的四面体单元，其余四面体单元为有限元单元。节点有2种类型，包括单位分解节点和有限元节点。构成裂缝单元的节点称为单位分解节点，其余的节点为有限元节点[18]。

在模型计算过程中，对于任意一个节点x={x，y，z}，在单元域Ω内的全局近似函数uh(x)定义为：

图1 裂缝面切割四面体单元Fig.1 A tetrahedral element intersected with a fracture surface

图2 单元与节点Fig.2 Elements and nodes

其中ωi(x)为与节点i相关的权函数，有ω1(x)+ω2(x)+ω3(x)+ω4(x)=1，ui(x)是与节点i相关的局部近似函数。与有限元节点相关的局部近似函数等于1，与单位分解节点相关的局部近似函数采用最小二乘法计算得到[19]。

对于裂缝单元，为表达裂缝面穿过部分的单元剖面的非连续位移场，首先定义Ψ是一个与单元域相关的节点集合。基于可视化准则[14]，定义可见区域为：

其中xi为节点i的坐标。为了构造沿裂缝面的非连续性近似函数，采用Shepard 公式[20]作为与裂缝单元相关的权函数。因此，根据可见性区域，在节点i相对应的子权函数φi'(x)定义为：

其中φi(x)由四面体单元上的传统有限元形函数构成的，φi(x)具体形式如下：

其中vol(P1P2P3P4)是四面体单元的体积，vol(P(x)PiPjPk)是由点P(x)及四面体单元中3个顶点{Pi，Pj，Pk}组成的新的四面体单元的体积。

与节点i对应的裂缝单元权函数为：

对于桥接单元，其权函数与标准有限元定义的形函数相同，可以通过下式计算得到：

对于有限元单元，其形函数与传统有限元单元的形函数相同。

2 径向井引导水力裂缝扩展模拟

在多场耦合模拟平台CoFrac上进行径向井压裂数值模拟。CoFrac 多场耦合模拟平台以FEMM 为基础进行创建，能够模拟“应力场—渗流场—温度场”作用下的裂缝扩展问题。

刘晓强等[11]已经通过真三轴物理实验和扩展有限元法数值模拟的结果对照验证了径向井对裂缝的扩展具有一定的引导作用。因此，利用FEMM 模拟地层中径向井压裂裂缝扩展，验证径向井可以引导水力裂缝扩展，进一步研究径向井与最大水平主应力的夹角对裂缝扩展的影响。

2.1 模型建立

径向井与最大水平主应力的夹角定义为径向井方位角，用θ表示。建立了7种不同方位角的水力压裂模型，方位角分别是0°，15°，30°，45°，60°，75°，90°，以研究不同方位角的径向井对水力裂缝扩展的影响。图3 是方位角为0°时的径向井压裂模型，σH，σh，σV分别是最大水平主应力、最小水平主应力、垂向应力。

依据工程中井筒和径向井的实际尺寸，选用直径为0.139 7 m，高度为2 m的井筒，和直径为0.05 m，长20 m 的径向井。模型中含有3 个间距为0.5 m 的径向井眼，在同一垂直面上相互平行排列。基于径向井的尺寸与排布方式，储层尺寸设定为长40 m，宽40 m，高2 m。初始裂缝的长度均为2 m，高度为3 m，缝宽为0 m。初始裂缝位于预计的起裂点，且穿过径向井眼轴线同时与井筒轴线平行。压裂液采用恒压注入方式泵注，并且在每个分析步后，水力裂缝的扩展长度均为2 m。储层力学参数采用某个低渗透油气田地质资料中的实际储层参数。使用的储层力学参数与径向井尺寸如表1所示。

2.2 结果与讨论

根据表1中的参数，在多场耦合模拟平台CoFrac上进行模拟。图4为径向井方位角为0°（径向井方向与最大水平主应力方向相同）时的水力裂缝扩展模拟结果。图中第n步表示数值模拟计算的第n个计算步，X和Y分别是横纵坐标轴，示意图均以此表示。由图可知，水力裂缝沿着径向井方向扩展。本案例验证了以FEMM法为基础的CoFrac平台能够处理地层中的径向井压裂问题。

图4 径向井方位角为0°时水力裂缝起裂及扩展Fig.4 Hydraulic fracture initiation and propagation with radial well azimuth of 0°

其他条件不变，径向井方位角为15°，30°，45°，60°，75°，90°时的模型裂缝扩展模拟结果如图5 所示。由六组实验结果分析可知，水力裂缝首先沿着径向井方向扩展，扩展一定的距离后，在径向井和地应力的共同作用下，水力裂缝逐渐偏离径向井方向，偏向最大水平主应力方向。结果表明：径向井对水力裂缝的扩展有一定的引导作用，不同方位角的径向井对裂缝的引导效果不同。

表1 裂缝扩展模型基础参数Table 1 Basic parameters of fracture propagation model

图5 不同方位角下水力裂缝起裂及扩展Fig.5 Hydraulic fractures initiation and propagation under different azimuths

为了进一步量化不同方位角的径向井对水力裂缝的引导作用，采用如下方法定义引导距离：从水力裂缝开始沿水平方向扩展的点作径向井轴线的垂线，将井筒圆心与垂足之间的距离定义为径向井引导水力裂缝的距离，用h表示，如图6 所示，其中h15，h30，h45，h60，h75，h90分别表示径向井方位角为15°，30°，45°，60°，75°，90°时的引导距离。

不同条件下径向井的引导距离变化趋势见图7。特别地，当径向井方位角为0°时，裂缝沿着径向井方向扩展，因此引导距离与径向井长度相同，h0=20 m。由图7 可知，径向井的方位角越大，引导距离越小。由此分析，径向井的方位角越大，径向井对水力裂缝扩展的引导作用越小。