刘云芬，张小思，杨奥莉，李 茸，李志超

(湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

1 模糊聚类

聚类分析是指用数学方法定量地确定样本间的亲疏关系，从而客观地划分样本的所属类型.当聚类涉及事物之间的模糊界限时，需运用模糊聚类分析方法.模糊聚类分析法的基本步骤如下[1].

1)确定分类对象，抽取因素依据.设分类对象全体为X=(x1,x2,…，xn)'，每1个对象xi由1组数据xi=(xi1,xi2,…，xim)R+,i=1,2,…，n来表征，则得到原始数据矩阵X=(xij)n×m.

2)对原始数据进行标准化处理.本研究基于最小-最大标准化方法对原始矩阵X进行标准化处理，具体计算公式为：

(1)

3)建立模糊相似关系矩阵.用数rij[0，1]来刻画对象xi和xj的相似程度，下文基于文献[1]的最小-最大标准化方法建立模糊相似矩阵，其公式如下：

(2)

4)求模糊相似矩阵的传递闭包，公式为：

(3)

5)基于相似矩阵的传递闭包，对于不同的截集水平，得到不同的分类结果，必要时绘制动态聚类分析谱系图.

2 房价影响因素分析

2.1 房价影响因素的优化选择

普通商品房的房价问题一直是人们关注的热点，影响房价的因素有很多，众多学者从不同视角对房价影响因素进行了多方面的探讨.本研究基于文献分析，在经济水平因素[2-4]、政策因素[5-6]和供需因素[7-9]等视角下，采用回归分析[10-11]、灰色关联理论[12]等典型的数学方法，选取地区生产总值、竣工房屋面积、地区公共预算收入和年末总人口4个指标作为房价的影响因素进行模糊聚类分析.

2.2 数据来源与分析

收集整理了2010—2016年上海、南京、成都、南昌、贵阳、武汉6个典型城市的平均房价、地区生产总值等5项评价指标的相关数据.其中，2016年典型城市5项评价指标的相关数据见表1，其他年份的数据资料详见中华人民共和国国家统计局国家数据网，因受篇幅所限，不在文中一一列出.

表1 2016年典型城市5项评价指标的相关数据

2.3 城市聚类过程分析

利用公式(1)，基于Matlab的mapminmax函数对表1中地区生产总值、竣工房屋面积、地区公共预算收入和年末总人口4个因素的对应数据进行标准化处理，得到矩阵为：

易先生站在他太太背后看牌，揿灭了香烟，抿了口茶，还太烫。早点睡——太累了一时松弛不下来，睡意毫无。今天真是累着了，一直坐在电话旁边等信，连晚饭都没好好地吃。

按照公式(2)，基于Matlab求得X的模糊相似矩阵：

按照公式(3)，基于Matlab求得相似矩阵R的传递闭包为：

基于上述传递闭包，绘制2016年6个典型城市的聚类分析谱图如图1所示.

图1 2016年6个典型城市的聚类分析谱图

用相同的方法，基于上述4个因素对2010—2015年6个典型城市的相关数据进行聚类分析，因受篇幅限制，2010—2015年聚类谱图不在文中列出.截集水平值(λ)可以由传递闭包矩阵中的元素给定，但是，截集水平值若选取过高，各城市会各自分为一类；截集水平值若选取过低，会导致各城市全部聚为一类.为了更好地进行对比分析，同时客观反映武汉市和其他城市聚类结果的联系，本研究中截集水平值全部选为大于0.6，根据不同的截集水平得到6个城市4因素聚类分析结果见表2.

表2 6个城市4因素聚类分析结果

为了进一步研究武汉房价对城市排名的影响，在原有4个城市经济发展评价指标的基础上添加了平均房价影响因素.基于模糊聚类法分析2010—2016年6个典型城市5项评价指标的相关数据，得到6个城市5因素聚类分析结果见表3.

表3 6个城市5因素聚类分析结果

2.4 2次聚类结果的比较分析

由图1可以看出，依据所选的4个城市经济发展评价指标选取不同的截集水平值，得到的分类结果不同.当截集水平λ>0.7341时，上海一类，南京和武汉一类，成都、南昌、贵阳各自一类.进一步分析可知，当截集水平λ>0.6172时，上海、成都为一类，南京、武汉为一类，南昌、贵阳各为一类.基于图1中的模糊聚类结果，结合城市经济发展水平将6个典型城市分为5类，上海属于第1类，成都属于第2类、南京和武汉属于第3类、南昌和贵阳分别属于第4、第5类.

分析表2可知，2010—2016年6个典型城市中，上海的经济发展水平归属于第1类、成都为第2类、南京为第3类、南昌为第4类、贵阳为第5类、武汉介于第2类和第3类之间.

比较分析表2和表3可知，2次聚类结果基本相同.表3中6个典型城市的经济发展水平各自为一类，武汉的城市经济发展水平还是介于南京和成都之间，仅在2011年和2012年的分类中存在细微差异，其他年份的2次聚类结果完全一致.

2011年和2012年武汉城市经济发展水平存在差异，一方面是受政府政策宏观调控的影响，导致武汉城市聚类结果在南京和成都之间摆动；另一方面是受到武汉市房地产价格波动的影响，但这不是决定性的因素.总体来看，2次聚类结果存在的差异并不大，说明只要城市的经济指标保持相对稳定，城市发展水平也会相应比较稳定.

3 结束语

利用地区生产总值等4个城市经济发展评价指标来实现城市分类排名，并引入房价指标扰动分类结果，客观地对分类结果进行了相关分析.分析结果表明：平均房价对城市排名有影响，但不是主要影响因素，影响城市排名的关键因素是城市自身的经济指标.要想城市房价相对稳定健康发展，加强国家宏观调控政策措施是必要的，更重要的是要引导城市经济结构健康发展.