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带导数非最小耦合暴涨模型的势重构

2020-02-11陈果萍范伯文

湖北理工学院学报 2020年1期
关键词:标量张量阻尼

费 寝,陈果萍,范伯文,曹 炼,邓 帅

(湖北理工学院 数理学院,湖北 黄石 435003)

1 带导数非最小耦合暴涨模型

宇宙暴涨理论成功地解决了标准宇宙学模型遇到的平坦性问题、视界问题、磁单极子问题等诸多疑难,而且在暴涨期间的量子扰动形成了宇宙大尺度结构的种子[1-4].拥有平坦势的标量场经常被用于暴涨理论研究。然而,理论上最适用的希格斯(Higgs)标量场与引力最小耦合暴涨模型被观测数据所排除[3].Higgs粒子是目前唯一被发现的标量场粒子,为了坚持由Higgs标量场驱动暴涨的观点,学者们考虑了Einstein张量与Higgs标量场的动能项之间存在非最小耦合[5-6],最终结果显示Higgs标量场的势能形式跟观测数据[4]相一致,并且该模型不引入新的自由度[7-9].

Horndeski推导了一套最普遍的标量-张量理论.该理论下的场方程至少包含了4维空间里对度规gμν和标量场φ的二阶导.在Horndeski理论中,二阶导φ;μν和Einstein张量通常耦合成f(φ,X)Gμνφ;μν的形式,其中X=gμνφ;μφ;ν.如果取f(φ,X)=φ,则可通过分部积分法得到Gμνφμφν的耦合形式.所以,如果选择Gμνφμφν形式的带导数非最小耦合模型,场方程不会含有超过二阶导的项[7],并且由于标量场变化缓慢,引力会提高阻尼效应.

本研究考虑带导数非最小耦合模型,并假设某一个宇宙学参数为常数,然后通过具体的参数化例子ns=1-p/(N+A)(p和A为引入的任意参数)来重构暴涨势函数.

2 势重构

本节主要推导动能项和Einstein张量非最小耦合下暴涨势函数的重构关系式.动能项和Einstein张量非最小耦合的作用量如下:

(1)

(2)

方程(2)中,H为哈勃参数,F=H2/M2.标量场的运动方程是:

(3)

2.1 宇宙学扰动

为了保证有足够长的暴涨时间,通常假设标量场的势能缓慢降低,则可得到如下慢滚条件:

(4)

在慢滚条件下,背景方程(2)~(3)可近似为如下简单形式:

(5)

(6)

方程(5)~(6)中,Vφ=dV/dφ,通过方程(5)可得到:

(7)

为了量化慢滚条件(4),引入如下慢滚参数:

(8)

(9)

通过背景方程(5)~(6)和慢滚参数方程(8),得到:

(10)

根据关系dN=-Hdt,计算得到慢滚参数的一阶,则可进一步得到:

(11)

计算标量扰动功率谱,得到慢滚参数的一阶,可以求得[16]:

(12)

且张量功率谱为[18]:

(13)

标量扰动谱指数ns和张标比r可以表示成如下关于慢滚参数的形式[18-19]:

(14)

(15)

联立方程(11)和方程(14),可以得到ns与εv的关系:

(16)

2.2 势重构关系式

结合方程(2)和(10),则可得到暴涨子φ与e指数数目N*的关系为:

(17)

方程(17)中“±”的选取和dV/dφ一致.由于通过时间反演可从“+”得到“-”,因此讨论其中一种情况即可,本研究仅考虑取“+”的情况.结合方程(8)和(11),可以得到势函数与慢滚参数方程(8)的关系:

(18)

通过方程(7)和(11),可以把方程(12),(16),(18)写成张标比r的形式:

(19)

(20)

r=8(lnV),N

(21)

需要注意的是:以上关系并不显含参数F.

如果取广义相对论极限H2≪M2,或者F≪1,方程(11),(14),(15),(17),(18)可以简化为[15]:

(22)

(23)

r=16εv

(24)

(25)

(26)

如果取强阻尼极限H2≫M2,或者F≫1,方程(22)~(26)可以简化为:

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

对于以上5组方程,原则上只需要知道函数εv(N),r(N),ns(N)和V(N)中的一个值,就可以通过求解方程组得到ns,r和势能V(φ).

3 宇宙学参数的参数化模型

本节将根据参数化的功率谱指数ns重构势函数.由于N*=60,则观测数据偏向于ns=1-2/N,因此考虑采用一种简单参数化方法:

(32)

当p>1,且A为常数时,可以由方程(20)得到:

(33)

方程(33)中,C是大于0的积分常数.通过方程(21)可以得到关于N的势函数:

(34)

通过联立方程(19)和(32),可得到势函数的幅度:

(35)

联立方程(33)和(34),并利用方程(15)可以得到慢滚参数:

(36)

方程(36)中,F0定义为F0=V0/M2.由于εv(0)=1,可以得到:

(37)

在满足F0≪1的广义相对论极限时,方程(37)简化为C=(p-1-2A)A-p;在满足F0≫1的强阻尼极限时,方程(37)简化为C=(3p-3-2A)A-p,该结果比广义相对论的结果大些.因此,对于同样的参数p和A,由方程(33)可得到,强阻尼极限下的张标比r比广义相对论极限下的大.结合方程(17)和(34),则可得到标量场φ和N的关系:

(38)

标量场φ和N之间的显函数关系式为:

(39)

方程(39)中,φ0为积分常数,2F1(a,b,c,z)为超几何函数,其形式可表示为:

(40)

暴涨结束时的暴涨子为:

(41)

对于p=2的情形,结合方程(34)和(39),得到势函数为:

(42)

在广义相对论极限下,以上结果可以简化为[15]:

(43)

该结果的势函数为T模形式[21-23].

对于p≠2的情形,很难根据V(N)和φ(N)求出一般情形下的势函数V(φ),但可以解出强阻尼极限下的结果.在强阻尼F≫1的情况下,将方程(32)~(33)的结果与Plank2015数据[4](取N*=60)进行对比,得到ns-r曲线与p-A参数空间如图1所示.

分析图1可知,Planck 2015观测数据[4]中ns与r0.002的1σ,2σ,3σ置信度圈图和参数化方程(32)在强阻尼极限下的预测值.图1(a)表示ns-r曲线,图1(b)表示取N*=60时观测数据对模型参数p和A的限制.

慢滚参数方程(36)可简化为:

(44)

通过超几何函数的渐进行为得到:

2F1(a,b,c,z)≈1,|z|≪1

(45)

则可得到强阻尼极限下φ与N的关系:

φ(N)-φ0=

(46)

将方程(46)代入方程(34),则可得到关于标量场φ的势函数:

V(φ)=

(47)

方程(47)中:

(48)

(a) ns-r曲线

(b) p-A参数空间

图2 势函数V(φ)

4 结论

通过参数化ns重构了势函数.对于ns=1-p/(N+A)的简化模型:如果取p=2,可以得到一般情况下的势函数,该势函数符合实验观测;如果取p≠2,可以得到强阻尼极限下的势函数,该势函数为含常数C的幂次势形式.观测数据将参数限制在1.0

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