王宗信

数学里图形的学习是非常有趣的，同时也是有规律的.通过数量关系可以判断图形的位置关系，反之，通过图形的位置关系也可以确定相应的数量关系，要做到这些，需要通过必要的推理.

一、认识相交线 （一）两条直线相交产生的四个角之间的关系

1.邻补角.

如图1，画一个平角，则∠AOB=180°.接着画射线OC，如图2，则∠AOB被分割为∠AOC与∠BOC，∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB=1800.像∠AOC与∠BOC这样的两个角互为邻补角.两个角互为邻补角要满足两个条件：（1）有一条边互相重合（OC为两个角的公共边）;（2）另外一条边互为反向延长线，

还可以通过另外的作图来理解邻补角.如图3，已知∠AOC，反向延长射线OA，得到射线OB与∠BOC（如图4），∠AOC与∠BOC互为邻补角：或者在图3中，反向延长射线OC，得到射线OD与∠AOD（如图5），∠AOC与∠AOD互为邻补角.

2.对顶角.

通过作图我们得到：∠AOC小于180°，可以画出它的两个邻补角（∠BOC与∠AOD），如图6.而且我们知道，∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB=180°，∠AOC+ ∠AOD=∠COD=180°，根据“同角的补角相等”，可以得到∠BOC= ∠AOD.从图6中，我们可以发现∠BOC与∠A OD不仅在数量上相等，而且这两个角还有特殊的位置关系：这两个角有公共的顶点，∠BOC的两边分别是∠AOD两边的反向延长线.像∠BOC与∠AOD这样的两个角，有公共顶点，其中一个角的两边是另外一个角的两边的反向延长线，我们称之为对顶角，图6中还有一对对顶角：∠AOC与∠BOD.在上述探究的过程中，我们得到对顶角的性质：对顶角相等，

在图6中，我们还可以发现，直线AB与CD相交于点O.一个周角被分割成四个小于180°的角：∠AOD，∠AOC.∠BOC.∠BOD.这四个角有公共顶点O，它们有两种位置关系.（1）有一条公共边，它们互为邻补角，共有四对角：①∠AOD与∠AOC;②∠AOC与∠BOC;③∠BOD与∠BOC;④∠BOD与∠A OD. （2）无公共边，它们互为对顶角，共有两对角：①∠AOC与∠BOD;②∠BOC与∠AOD.把∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD分别标记为∠1，∠2，∠3，∠4（如图7），四个角两两之间有：两对对顶角（∠1与∠3，∠2与∠4）;四对邻补角（∠1与∠2，∠3与∠4，它们的和是∠COD，∠2与∠3，∠1与∠4，它们的和是∠AOB）.

在图8的∠1，∠2，∠3，∠4四个角中，只要有一个为900，则其两个邻补角都是90°.根据对顶角相等，它的对顶角也是90°，也就是说这四个角中，只要有一个角是直角，其他的三个角也都是90°.当两条直線相交时，只要有一个夹角为90°，我们就说这两条直线互相垂直.

（二）认识一条直线分别与两条直线相交产生的八个角之间的关系

一条直线与两条直线分别相交，或者说两条直线被第三条直线所截，会产生如图9所示的八个角，为了便于表述，我们把直线EF称为截线，把直线AB.CD称为被截线.其中直线EF与直线AB相交产生四个角∠1.∠2，∠3，∠4，这四个角之间只有两种位置关系：邻补角或对顶角.它们有公共顶点，同样直线EF与直线CD相交产生四个角∠5.∠6，∠7，∠8，这四个角之间也只有两种位置关系：邻补角或对顶角.这四个角也有公共顶点.我们研究直线AB，CD被第三条直线EF所截得到的八个角中没有公共顶点的两个角之间的关系，即∠1，∠2，∠3，∠4这四个角中的一个角与∠5，∠6，∠7，∠8这四个角中的一个角之间的关系.

1.同位角.

同位角，顾名思义是同样位置的角，同样位置是指两个角位于截线的同一侧，同时也要在两条被截线的同一侧，观察图9中的∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7.∠4与∠8.

从图10、图11、图12、图13四个图中我们可以发现互为同位角的两个角组成的图形形状特别像字母“F”或者字母“F”旋转、翻折之后的样子，并且可以得到这样一个结论：两条直线被第三条直线所截，产生的八个角中有四对同位角.

2.内错角.

两条直线被第三条直线所截，产生的八个角中，夹在两条被截线之间（称之为“内”）并且在截线的两侧（称之为“错”）成交错状的两个角为内错角.观察图9中∠3与∠5，∠4与∠6.

内错角，形象地说就是夹在两条被截线之间，并且被截线错开来的两个角，那么八个角中符合条件的角只有两对.我们可以发现互为内错角的两个角组成的图形形状像字母“Z”或者字母“Z”旋转、翻折之后的样子.

3.同旁内角.

两条直线被第三条直线所截，产生的八个角中，夹在两条被截线之间（称之为“内”）并且在截线的同侧的两个角为同旁内角，观察图9中∠3与∠6，∠4与∠5.

同旁内角，形象地说就是夹在两条被截线之间，并且在截线同旁的两个角，那么八个角中符合条件的角只有两对.我们可以发现互为同旁内角的两个角组成的图形形状像字母“U”或者字母“U”旋转、翻折之后的样子.

三、认识平行线

在同一平面内，两条不重合的直线只能有两种位置关系：相交或者不相交，平面内两条直线不相交，我们说这两条直线平行，直线a与直线b平行，记作a//b.

如何判定两条直线互相平行呢？

同学们在小学学过利用直尺和三角尺画平行线.这种作图实际上就是把三角尺的600的角进行平移，通过保证同位角相等，画出了两条平行线.我们认可这个做法，作为一个基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.

这可以引发我们思考：内错角、同旁内角是否可以帮助我们判定两条直线平行？

图18中，直线AB，CD被直线EF所截，同位角有四对：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.这四对同位角只要有一对相等，就可以判定直线AB//CD.

图中内错角有两对：∠3与∠5，∠4与∠6.我们锁定∠3与∠5，猜想：若∠3=∠5，则直线AB与CD平行.我们应想办法把内错角转移到同位角上，∠3有没有同位角？有，∠3的同位角是∠7，∠7与∠5有没有关系？∠7与∠5是对顶角，对顶角有何关系？对顶角相等！所以∠7=∠5，又因为∠3=∠5，所以∠7=∠3，我们推出了同位角∠7与∠3相等，那么AB//CD.

刚才的推理过程用数学的符号语言这样写：

已知：如上页图18，直线AB，CD被直线EF所截，∠3=∠5.

求证：AB//CD.

证明：根据对顶角相等，所以∠7=∠5.

又因为∠3=∠5（已知），所以∠7=∠3（等量代换）.

又因为∠7与∠3是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，所以AB//CD.

根据上面的探究，我们得到：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.

同学们可以用同样的思路与方法来探究：同旁内角互补，两直线平行.

这就是通过数量关系判定图形的位置关系的应用.反过来，通过两条直线平行也可以确定同位角的关系、内错角的关系、同旁内角的关系，