赵海

我们先来看一下山东省临沂市2008年中考数学试卷的第25题：

题目 已知∠MAN.AC平分∠MAN.

（1）在图1中，若∠MAN=120°.∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC.

（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由.

解析：（1）∵ ∠MAN=120°，AC平分∠MAN，

∴ ∠ CAD=∠CAB=60 °.

∴AD=1/2AC，AB=1/2AC.

∴ AB+AD=AC.

（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：

如图3，过点C作CE⊥AM，CF⊥AN，垂足分别为E.F则∠CED=∠CFB=90°.

因AC平分∠MAN，故CE=CF.

∵ ∠ABC+∠ADC =180°. ∠ADC+∠CDE=180°.

∴ ∠ CDE=∠ABC.

∴ △CDE≌△CBF（角角边），DE=BF.

由（1）知AF+AE=AC，故AB-BF+AD+DE=AC.即AB+AD=AC.

【反思1】

（2）题还有没有其他解法？

如图4，过C作CG//AB交AM于G.

易证△GAC是等边三角形，

∴

CG=A G=AC，∠CGD=60°=∠CAB.

而∠GDC=∠ABC（均与∠ADC互补），

∴ △GDC≌△ABC（角角边）.

∴ GD=AB+AB+AD=GD+AD=AG=AC.

【反思2】

已知∠MAN =120°.点D，B分别在∠MAN的边AM，AN上，点C在∠MAN的平分线上.若CD=CB.则AB+AD=AC是否成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由.

显然不成立，把图l中的点D，B“向外”移动同样的距离，即可看出.

【反思3】

如果∠MAN≠120°，其他条件不变，（2）中的结论是否成立呢？

如图5、图6，已知∠MAN，∠MAN≠120°，AC平分∠MAN.点B在AN上，点D在AM上（AB>AD），∠ABC+∠ADC=180°.

如图6，过点C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，则∠ CED=∠CFB=90°.

因AC平分∠MAN，故CE=CF

易证△CDE≌△CBF（角角边）.

∴DE=BF.

容易证明AE=AF

∴ AB+AD=AE+AF=2AF

假设AB+AD=AC，则2AF=AC，所以∠ACF=30°.

∴ ∠ CAF=60°。从而∠MAN=120°.

这与∠MAN≠120°矛盾，

∴结论AB+AD=AC不成立.

对于图5的情形，可类似地进行分析，同样得出上述结论.

练习

1.如图7，AC平分∠MAⅣ.点B在AN上，点D在AM上，AB>AD.CF⊥AB于 F.∠ABC+ ∠ADC=180°试证明：CB =CD.AB+AD=2AF

2，如图7.已知C是∠MAN内部的一点，点B在AN上，点D在AM上，AB>AD.CF⊥AB于F，CB=CD， ∠ABC+ ∠ADC=180°.试证明：AC平分∠MAN.AB+AD=2AF

3.如图7.AC平分∠MAN.点B在AN上，点D在AM上，AB>AD.CF⊥AB于F，AB+AD=2AF.试证明：

（1） CB=CD;

（2） ∠ABC+∠ADC=180°.

4.已知∠ MAN=120°.點D，B分别在∠MAN的边AM，AN上运动，且保持BD=a（定长）.以肋为边在∠MAN的内部作等边△BCD，如图8.则在点D，B的运动过程中，点C有怎样的运动规律？

5.如图9.AC平分∠MAN.点B在AN上，点、D在AM上，AB>AD. CB=CD，CE⊥AB于E若AE=3，CE=2，则四边形ABCD的面积是

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6.如图10所示.AC平分∠MAN.点B在AN上，点D在AM上，AB>AD.若∠MAN=50°，CB=CD，求∠CBD的度数.