安里鹏, 李文武, 李德建

(1.湖南省交通规划勘察设计院有限公司, 长沙 410200； 2.中南大学土木工程学院, 长沙 410075)

磁悬浮列车具有速度快、爬坡能力强、转弯半径小及经济环保的优点[1]，进入21世纪后，人们对磁悬浮列车关注进一步增加。随着日本、韩国磁悬浮线路以及中国长沙中低速磁浮快线和北京S1线的建成通车运营，中外磁浮技术从研发到应用均取得可喜的进步[2]。

Wang等[3]采用弹簧连接的方式模拟了铁轨、轨枕与桥梁的连接，在此基础上对磁浮车桥耦合动力响应进行分析。Ren等[4]将车辆模型等效为三种移动荷载模型和两种多自由的二系悬挂阻尼模型对Emsland 线路动力响应进行分析。Shi等[5]分析了加载不均匀周期性呈现对轨道梁振动的影响规律。Talukdar等[6]基于Simulink对高速磁浮列车的磁悬浮车-轨道耦合系统进行了分析。赵春发等[7]将车辆简化为5刚体10自由度的质量块模型，建立了磁浮车辆一轨道梁耦合振动模型。时瑾等[8]以德国电磁悬浮系统(EMS)磁浮列车为研究对象，分析了磁浮列车运行中桥梁相关参数的影响，并考虑了主动控制电磁力的影响。李小珍等[9]对中低速磁浮列车-轨道梁的竖向耦合振动进行模型试验及验证；贺光[10]以德国EMS磁悬浮车辆为原型，研究了轨道梁的振动对磁浮列车动力响应的影响规律。梁鑫等[11]分析了两种磁轨关系时磁浮车桥的相互作用，并进行了对比分析；倪萍等[12]分析了超高速磁悬浮列车—轨道梁的竖向耦合振动响应。

目前，中外学者已对磁悬浮车桥耦合系统的动力响应做了许多研究，并取得众多的成果，但也发现已有的研究及成果更多集中和服务于中小跨径桥梁[1]，集中为跨径20～30 m的简支梁或连续梁，更大跨度桥梁在磁浮交通中还鲜有应用。随着磁浮交通的发展，对具有更大跨越能力的桥梁结构的需求也越来越多，使得对磁悬浮大跨度桥梁车桥耦合系统动力响应的研究显得十分必要和迫切。

基于此，以规划中的长株潭城际轨道交通线株洲段跨湘江大桥为依托工程，对磁浮大跨度桥梁车桥耦合系统动力响应进行研究，以期对大跨度桥梁在磁浮交通中的发展与应用起到一定的指导作用。

1 磁浮车辆动力分析模型

1.1 基本假定

磁浮列车在桥梁上运行时，磁浮列车-轨道-桥梁是一个相互作用、相互影响的动力学系统。磁浮列车由车体和悬浮架两部分组成，二者通过弹簧系统和阻尼系统相连接。为便于计算，假设：①车辆车体、悬浮架是绝对刚体，悬浮架与轨道梁之间采用一系弹簧阻尼体系模拟，车体与悬浮架之间采用二系弹簧阻尼体系模拟；②磁浮列车、悬浮架相对位置固定且均匀速运动；③车体、悬浮架做小位移振动；④各刚体构件之间的弹簧为线性，阻尼为滞变阻尼；⑤车体、悬浮架左右对称[13]。

1.2 磁浮车辆空间振动分析模型

磁浮列车为多车厢模型，每个车厢的车辆模型由一个车体和多个悬浮架组成，磁浮列车简化计算模型如图1所示。

图1 磁浮列车动力分析模型Fig.1 Maglev train dynamic anslysis model

磁浮列车悬浮架横向、纵向位移[13]可表示为

δT={wwawwbwwcwwdwcθXcθYc}T

(1)

式(1)中：wwa、wwb、wwc、wwd、wc为悬浮架4个方向及车体位移参数；θXc、θYc为车体横向及纵向转角参数。

磁浮列车悬浮架与轨道梁相互之间位移可表示为

δsn=Nδ，δ=[ui,vi,wi,θXi,θYi,θZi,uj,vj,wj,θXj,θYj,θZj]T

(2)

式(2)中:u、v、w、θ为悬浮架横向两侧节点位移及转角，则

δsn=[usnvsnwsnθXsnθYsnθZsn]T,n=a，b，c，d

(3)

式(3)中：N为轨道梁单元位移形函数，即

N=

(4)

1.3 轨道不平顺

磁浮列车所受轨道不平顺的影响，主要与行进过程中的轨道梁变形有关，参考桥面不平顺的表示方法[13-14]，可采用不平顺函数来进行表示，即

(5)

式(5)中：lv为桥面不平顺波长，取值11.5；av为桥面不平顺幅值。轨道不平顺共分为A、B、C三个等级，对应av分别取0.005、0.008、0.01 m。

因此，悬浮架所在轨道处轨道不平顺可表示为

(6)

悬浮架与轨道梁接触位置的位移函数可表示为

Sswn=Tscδsn+Rsn

(7)

式(7)中：Tsc为转换矩阵。

(8)

式(8)中：en(n=a，b，c，d)为各悬浮架位置距轨道梁单元质心的水平距离；h0为轨道梁顶面距离质心的竖向距离。

悬浮架与轨道梁相接触处的竖向位移wswa、wswb、wswc、wswd可表示为

wswn=wsn+enθXsn+rsn,n=a,b,c,d

(9)

磁浮车体与悬浮架连接端点的位移w′a、w′b、w′c、w′d可表示为

(10)

2 磁浮车辆空间振动方程的建立

2.1 磁浮列车惯性势能

磁浮列车惯性力所做负功为

(11)

悬浮架惯性力所做负功为

(12)

2.2 磁浮列车弹性应变能

轨道梁与悬浮架之间弹性势能为

(13)

式(13)中：Δ1a、Δ1b、Δ1c、Δ1d为悬浮架与轨道梁之间一系弹簧伸长量，Δ1n=wwn-wswn，n=a，b，c，d。

磁浮车体与悬浮架之间二系弹簧应变能为

(14)

式(14)中：Δ2a、Δ2b、Δ2c、Δ2d为悬浮架与车体之间二系弹簧伸长量，Δ2n=w′n-wwn,n=a，b，c，d。

2.3 阻尼力势能

轨道梁与悬浮架之间阻尼力所做负功为

(15)

磁浮列车车体与悬浮架之间阻尼力所做负功为

(16)

2.4 重力势能

运行中的磁浮列车不与轨道梁接触，车辆重力产生的动力效应实际为二者之间的相互作用力，可表示为

UGV=Pswawswa+Pswbwswb+Pswcwswc+Pswdwswd

(17)

式(17)中：Pswa、Pswb、Pswc、Pswd为悬浮架与轨道梁之间的相互作用力，可表示为

(18)

式(18)中：d1、d2、b1、b2分别为车体重心在纵向和横向距悬浮架的距离；mc为车体质量；mwa、mwb、mwc、mwd为车体单元附近横向、纵向悬浮架质量。

2.5 磁浮列车车辆空间振动方程

一列磁浮列车，一般会有n′节车厢，则磁浮列车总势能即为n节车厢势能的叠加，可表示为

(19)

依据变分方法及对号入座法则，即可得到磁浮列车系统的刚度矩阵KV、质量矩阵MV、阻尼矩阵CV、荷载列阵PV，从而建立车辆系统的空间振动运动方程为

(20)

3 磁浮车辆-桥梁耦合系统动力响应方程的建立

桥梁结构总势能ΠS[13]可表示为

ΠS=UIS+UDS+UKS

(21)

式(21)中：UIS、UDS、UKS分别为惯性力、阻尼力和弹性力所作负功。

同样依据变分及对号入座法则，建立桥梁结构动力运动方程，可表示为

(22)

以桥梁初始状态为零势能点，即PS=0。式(22)可写为

(23)

将磁浮列车总势能与桥梁结构总势能进行叠加，得到磁浮车桥耦合系统总势能ΠVS=ΠS+ΠV。继续采用变分方法和对号入座法则换算，得到磁浮列车-桥梁耦合系统的振动方程。分别对磁浮列车和桥梁结构的质量、刚度和阻尼进行组装，形成组装矩阵，进而可得磁悬浮列车-桥梁耦合系统的运动方程，可表示为

(24)

根据以上磁浮列车-桥梁耦合系统动力响应方程，采用Fortran语言编制计算程序，对车桥耦合系统的动力响应进行计算分析。

4 磁浮列车-桥梁耦合系统动力响应分析

4.1 依托工程简介

规划中的长株潭城市群城际轨道交通线株洲段跨湘江大桥拟采用主跨为(95+180+95) m的磁悬浮专用矮塔斜拉桥，桥型方案如图2所示。

图2 桥型布置图Fig.2 Bridge span arrangement

主梁采用单箱单室预应力混凝土箱梁、主梁根部及跨中横断面如图3所示。主梁顶宽11.6 m，底宽8 m，箱梁根部梁高9.6 m，跨中梁高4.8 m，变高段梁高采用二次抛物线，底板厚度0.45～1.2 m，腹板厚度0.5～0.7～0.9 m。箱梁配置纵向预应力钢束及腹板竖向预应力钢束。

塔身截面采用变截面形式，顺桥向尺寸由塔底6 m渐变至塔顶8 m，主塔整体向外展开，横向间距由塔底10 m渐变至塔顶21.5 m，竖向设多道景观槽，柱底接4.5 m厚承台，基础采用9根直径2.4 m桩基。

4.2 车桥耦合系统动力响应参数分析

对该桥型方案进行车桥耦合系统动力响应参数分析，采用单一变量原则，其他参数不变，车辆模型参数参照中车株洲电力机车有限公司所提供数据，如表1及表2所示。

图3 主梁根部及跨中断面图Fig.3 Root section and midspan section

表1 磁浮车辆物理参数

表2 磁浮列车其他参数

4.2.1 桥梁动力响应参数分析

(1)轨道不平顺的影响。

依次改变轨道不平顺等级，av依次选取0.005、0.008、0.01 m，磁浮列车及桥梁其余参数保持不变。磁浮列车单线单向行驶，车速设为100 km/h。依据Fortran自编程序计算，结果如图4～图6和表3所示。

图4 不同轨道不平顺等级下桥梁跨中竖向位移时程曲线Fig.4 Vertical displacement time history of bridge midspan in working

图5 不同轨道不平顺等级下桥梁跨中竖向加速度时程曲线Fig.5 Vertical acceleration time history of bridge midspan in working

图6 不同轨道不平顺等级下连续梁跨中竖向位移频谱曲线Fig.6 Vertical displacement spectrum curve of continuous girder bridge midspan

表3 轨道不平顺等级下磁浮桥梁跨中动力响应

由图4～图6和表3可知，轨道不平顺等级越高，磁浮列车运行引起的桥梁动力响应越大。狄克曼指标最大值为2.865，为“人体能忍受的短期振动”[15]。可见，轨道不平顺对桥梁动力舒适性有很大影响，应加强对轨道梁不平顺的控制，并在后期运营中加强对轨道梁的养护。

(2)行车速度的影响。

选取磁浮列车车速依次为60、80、100、130、160 km/h 5种工况进行分析，磁浮列车、桥梁其余参数不变。通过自编程序计算，结果如表4所示。

表4 磁浮列车在不同车速下桥梁跨中动力响应

从表4可以看出，随着磁浮列车行车速度的增大，桥梁动力响应并非一直变大。但车速超过 130 km/h 后，车速越大，引起的桥梁动力响应则越大。如当磁浮列车车速行至160 km/h时，动力系数达到1.892，此时狄克曼指标为1.971，仍为“人体能忍受任意长时间的振动”。因此，为保证行车安全及舒适，建议在保证最低车速的情况下，磁浮列车通过大跨径桥梁时尽量慢速行驶。

(3)磁浮列车车辆载重的影响。

考虑磁浮列车车厢分别在空载、一半荷载和满载三种工况下桥梁动力影响分析。其他参数不变，通过自编程序计算，得到的桥梁动力响应结果如表5所示。

表5 磁浮列车不同荷载工况下桥梁跨中动力响应

从表5计算结果可以看出，磁浮列车在桥梁上运行时，引起的桥梁跨中动力响应与磁浮列车荷载工况正相关，随着列车荷载工况的增大，其动力响应随之变大。磁浮列车处于满载工况时，桥梁动力系数最大至1.162，狄克曼指标为1.674，处于“能忍受任意长时间的振动”的区域。

(4)轨道数的影响。

规划中的株洲磁浮跨湘江大桥方案，按双向双线设计，因此可分为磁浮列车单向单线行驶与双向双线行驶两种工况。同上分析思路，其他参数不变，通过自编程序计算，结果如表6所示。

表6 磁浮列车在不同行驶工况下桥梁跨中动力响应

计算结果表明，磁浮列车双线行驶较单线行驶引起桥梁跨中的动力响应大，说明同一座桥梁上磁浮列车行驶数量越多，则引起的桥梁动力响应越大。当磁浮列车双线行驶时，引起的桥梁动力系数为1.134，狄克曼指标为1.531，舒适性指标仍处于“能忍受任意长时间的振动”区域。

4.2.2 磁浮车辆动力响应参数分析

(1)轨道不平顺的影响。

依次改变轨道不平顺等级，av依次选取0.005、0.008、0.01 m，其余车辆参数及桥梁参数保持不变。磁浮列车单线单向行驶，车速设为 100 km/h。依据Fortran自编程序，对磁浮列车的动力响应进行计算，并采用斯佩林(Sperling)指标进行分析评价[15]。下面行车速度和车辆载重动力响应参数分析除对应参数变化外其余参数条件同轨道不平顺一致。计算结果如表7所示。

依据计算结果可见，轨道不平顺对磁浮列车动力响应影响明显，呈现正相关变化。根据斯佩林指标标准，轨道不平顺等级越高，乘坐于磁浮列车内的乘客人体舒适性感觉越差。

表7 轨道不平顺工况下磁浮列车动力响应

(2)行车速度的影响。

分别采用60、80、100、130、160 km/h 5种磁浮列车行车速度进行影响分析。磁浮列车-桥梁其余参数不变，计算结果如表8所示。

表8 磁浮列车在不同车速下列车动力响应

行车的舒适性与磁浮列车的运行速度负相关，速度越大，舒适性感觉越差。因此，为保证行车安全及舒适，建议在保证最低车速的情况下，磁浮列车通过大跨径桥梁时尽量慢速行驶。

(3)车辆载重的影响。

考虑磁浮列车车厢分别在空载、一半荷载和满载三种工况下进行车辆载重影响分析。其他参数不变，通过自编程序计算，结果如表9所示。

表9 磁浮列车不同荷载工况下车体动力响应

计算结果表明，磁浮列车车辆载重从空载增大到满载，磁浮列车的振动均“明显感觉振动，但感觉舒适”。但从表9中也可以看出，列车载重越大引起的车体最大竖向动位移和加速度也越大，即列车动力响应也越大。

5 结论

通过以上分析可知，规划中的长株潭城市群城际轨道交通线株洲段跨湘江大桥方案——磁悬浮专用矮塔斜拉桥(主跨180 m)，在磁悬浮列车正常行进时，磁浮列车、桥梁振动舒适性良好，车桥耦合振动响应可满足安全行车要求。另外，进行动力响应参数分析所得结论也可为磁悬浮大跨度桥梁的设计施工及日常运营管理提供一定的参考。