李桂峰

【摘要】在研究直线与圆锥曲线位置关系的问题中，经常遇到涉及角度的问题，通常我们可以考虑先将其转化为熟悉的三角函数或者斜率等知识进行求解.

【关键词】解析几何;角度

【课题名称】基于数学建模核心素养为导向的高中数学教学案例研究

【立项编号】JYYB-2018022

一、问题辨析

（2015高考四川，理20）如图所示，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率是22，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.

（1）求椭圆E的方程.

（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

解：（1）椭圆E的方程为x24+y22=1（过程略）.

（2）由椭圆的对称性可知，若存在这样的定点Q，则点Q必在y轴上，可设Q点的坐标为（0，y0）.

当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点.

则M（0，2），N（0，-2），

由|QM||QN|=|PM||PN|，有|y0-2||y0+2|=2-12+1，解得y0=1或y0=2.

所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为Q（0，2）.

下面证明：对任意的直线l，均有|QA||QB|=|PA||PB|.

当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立.

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）.

联立x24+y22=1y=kx+1，得（2k2+1）x2+4kx-2=0.

其判别式Δ=16k2+8（2k2+1）>0，

所以，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-22k2+1.

解法一：（进一步利用椭圆的对称性，作点B的对称点将问题转化，将目标关系|QA||QB|=|PA||PB|，借助对称、共线条件，利用斜率进行求解，转化为坐标的比值问题）

因此1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k.

易知，点B关于y轴对称的点的坐标为B′（-x2，y2）.

又因为kQA=y1-2x1=k-1x1，kQB'=y2-2-x2=-k+1x2=k-1x1.

所以kQA=kQB'，即Q，A，B三点共线，

所以|QA||QB|=|QA|QB'=x1x2.

又因为P，A，B三点共线，所以有|PA||PB|=x1x2，

因此有|QA||QB|=|PA||PB|总成立，

故存在与点P不同的定点Q（2，0），使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立.

若能注意到“是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立”的本质是y轴即∠AQB的角平分线，进而转化为∠AQO=∠BQO，然后转化为kQA+kQB进行求解，可大大减小学生的思维量和运算量，对学生而言，是比较容易接受的一种方法.

解法二：kQA=y1-2x1=kx1-1x1，kQB=y2-2x2=kx2-1x2，

因为kQA+kQB=kx1-1x1+kx2-1x2=2kx1x2-（x1+x2）x1x2=2k-22k2+1--4k2k2+1-22k2+1=0.

所以y轴平分∠AQB，由角平分线定理有|QA||QB|=|PA||PB|.

二、拓展结论

通过对此题的研究，我们得到了椭圆涉及该类型的一般性质，同时可以推广到一般的圆锥曲线，得到如下性质：

性质1：已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），点P（0，m），Q（0，n）是y轴上的两个定点，且满足mn=b2，过点P的直线l交椭圆于A，B两点，设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，則k1+k2=0.

性质2：已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），点P（0，m），Q（0，n）是y轴上的两个定点，且满足mn=-b2，过点P的直线l交双曲线于A，B两点，设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=0.

性质3：已知圆x2+y2=r2（r>0），点P（0，m），Q（0，n）是y轴上的两个定点，且满足mn=r2，过点P的直线l交圆于A，B两点，设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=0.

性质4：已知抛物线x2=2py（p>0），点P（0，m），Q（0，n）是y轴上的两个定点，且满足m+n=0，过点P的直线l交椭圆于A，B两点，设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=0.

上述性质都是考虑定点在y轴上的情形，其实，定点在x轴上也是有类似或相关的性质，这里略.

三、强化运用

1.（人教A版选修4习题改编）椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率是53，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2.

（1）求椭圆C的方程.

（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点，试问：x轴上是否存在定点，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标;若不存在，说明理由.

2.（2016福建省高一数学竞赛15）如图所示，圆O的圆心在坐标原点，过点P（0，1）的动直线l与圆O相交于A，B两点.当直线l平行于x轴时，直线l被圆O截得的线段长为23.

（1）求圆O的方程.

（2）在平面直角坐标系xOy内，是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

3.（2015高考新课标1，理20）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=x24与直线l：y=kx+a（a>0）交于M，N两点.

（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程.

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

4.（2015高考北京，理19）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为22，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.

（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）.

（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标;若不存在，说明理由.

5.（2015高考湖北，理14）如图所示，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2.

（1）圆C的标准方程为.

（2）过点A任意作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，

下列三个结论：

① |NA||NB|=|MA||MB|;

② |NB||NA|-|MA||MB|=2;③ |NB||NA|+|MA||MB|=22.

其中正确结论的序号是：.（写出所有正确结论的序号）

四、归纳总结

圆锥曲线是高考的重点内容，且相对比较稳定，题目综合性较强.直线与圆锥曲线的位置关系问题是重要考点，常以探究存在性问题的形式出现，因为解题方法的原因，有不少教师将其归结为“角度问题”.具体解题时，一般是先假设所求要素是存在的，设出点的坐標、直线方程，代入圆锥曲线方程，归结为关于x的一元二次方程，并利用交点坐标以及根与系数关系，将交点的横坐标之和与积用一元二次方程的系数表示出来，依据题中已知条件，联系待求的结论，选择合适的方法进行解答.在解答过程中，往往需要运用转化的思想，比如解析几何中涉及角度问题，通常可以将问题转化为我们较为熟悉的三角函数，或者斜率等知识进行求解.

【参考文献】

[1]孟庆杰.从特殊到一般探索一道高考椭圆试题[J].数理化学习（高中版）.2020（5）.

[2]黄旭东.再谈2015年四川高考理科第20题的拓展延伸[J].数理化学习.2016（7）.

[3]徐小琴，赵思林.2015年高考数学四川卷理科20题探究[J].数学教学通讯.2016（5）.