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习题教学中让学生参与题目变式的尝试

2020-01-11袁文平

数学学习与研究 2020年22期
关键词:习题教学改编变式

袁文平

【摘要】根据荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔的观点“学习数学的唯一正确的方法是实行再创造”,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或者创造出来,教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造,而不是把现成的知识灌输给学生.因此,我们在教学中可以试着让学生成为改编的主体,让学生真正成为题目的改编者,甚至创造者.

【关键词】习题教学;变式;改编;模型;经验积累

在平时的习题变式教学中,教师们惯用的是“题目—变式训练”模式,而变式的主体是教师,也就是教师本人将题目原型进行变式,再让学生进行训练,进而达到巩固的目的.做变式训练题,毫无疑问,学生是喜欢的.如果学生成为题目的改编者,那么是不是更有味道呢?对于这类尝试,我通过长期的教学实践,取得较好的效果.我以浙教版教材中的一道习题和资料中的一道习题为例,大胆进行了让学生参与题目变式的尝试,下面来谈谈自己的一些收获与感想.

一、一道教材习题引起的改编大潮

1.教材习题展示

浙教版八年级(下)数学教材95页中有这样一道题目:如图1,已知E,F分别是ABCD的边BC,AD上的中点,求证:AE=CF.

题目分析:本题考查平行四边形的性质和判定,对于这道题的证明比较容易,这里就不详谈了.这道题可以通过改变E,F的位置进行变式,从而引发学生思考.

2.追问引发新思考

教师追问:请大家判断四边形AECF的形状.

学生:平行四边形(回答并证明).

教师:对于这一题,大家发现点E和点F是比较特殊的:E,F分别是ABCD的边BC,AD上的中点.那么,同学能否变动E,F的位置,使得四边形AECF仍然是平行四边形呢?(引导学生层层递进,逐步思考,一共衍生出了如图所示的几种情形)

学生1:如图2,点E,F分别在边BC,AD上,且BE=DF.

学生2:如图3,点E,F分别是∠BAD,∠BCD的平分线与ABCD的边的交点.

学生3:如图4,AE⊥BC于点E,CF⊥AD于点F.

学生4:如图5、图6,点E,F分别在对边的延长线上,满足:BE=DF.

3.层层推进,思维再度提升

教师:在上面的问题中,点E,F在平行四边形的对边上,能否将之移到对角线上呢?如图7,连接ABCD的对角线BD,我们在BD上取两点E,F,连接AE,CE,AF,CF.当点E,F满足什么样的特殊位置,使得四边形AECF是平行四边形呢?

受前面的启发,学生层层递进,逐步思考,又一共衍生出了如图所示的几种情形.

学生1:如图7,AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线.

学生2:如图7,当∠DAF=∠BCE.

学生3:如图7,AE∥CF.

学生4:如图7,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F.

学生5:如图8,E,F在线段BD两端的延长线上,且BE=DF.

以上这些学生的猜想都是正确的,也有一些学生提出的是命题不正确的,例如,图7中,AE=CF.通过学生命题,然后学生质疑,这也是一种非常好的教学手段.对于图8,还有学生提出更多的猜想,例如:AE∥CF,也可使得四边形AECF是平行四边形.

以上这些变式题目的产生,实际上结合了教材和作业本中多道题目.这些变式题使得题目、知识更系统化,能起到举一反三、触类旁通的作用,更有利于学生创新意识的培养.

二、高阶思维的碰撞,改出经典

1.例题展示

如图9所示,△ABC中,过点A分别作∠ABC,∠ACB的外角平分线的垂线AD,AE,D,E为垂足.

求证:

(1)ED∥BC;

(2)ED=12(AB+AC+BC).

题目分析:很明显,本题有“角平分线+垂线=等腰三角形”的模型,因此,如图10,分别延长AD和AE与直线BC分别交于点G,H,则△ABG和△ACH都是等腰三角形,由等腰三角形“三线合一”的性质可得DE是△AGH的中位线,故第(1)小题得证.对于第(2)小题,AB=BG,AC=CH,所以AB+AC+BC=GH,由中位线定理即可得证.

2.横向联系,引导改编

改编1:

在教学中,我让学生思考,能否将本题进行改编.由于没有方向,学生自然不知道如何改编,所以改编本题,要么改编题目,要么改变图形.于是,我引导学生继续审题,注意题目中的“两外角”的平分线,一学生随口提出,把“两外角”改成“两内角”,就在他这一声提示下,学生纷纷画图,得到如下的图形(图11).

画好后,有学生提出疑问,原题中的结论还成立吗?

引导学生分析:方法类似,延长AD和AE,交BC于点G,H,则可证CA=CH,BA=BG,DE是△AHG的中位线,所以结论(1):ED∥BC.结论(2)变为:DE=12HG=12(BG+CH-BC)=12(AB+AC-BC).

非常有意义的一个结论,让学生来改编题目比解题的效果更好,学生更容易找到成就感!

改编2:

教师:两外角平分线和两内角平分线已经解决了,同学们就没有其他的想法吗?

学生:一内一外的角平分线!

教师:那么一内一外的角平分线的情况下又有什么样的奇迹诞生呢?请仿照上面的改编完成你们的猜想吧!

类似于上面的探究,如图12,结论(1):DE∥BC.

结论(2):DE=12HG=12(BC+CH-BG)=12(BC+AC-AB).

以上两个改编,完全可以当作考试题型出现,也是比较常见的题型.

三、反 思

让学生来参与题目变式,类似于近期比较火热的“学生说题”,但又不同于说题,这是所有学生都能参与的正常的教学活动,有利于发展学生的思维高度和广度,更能培养学生的创新精神.那么,在平时教学中应该注意些什么呢?

1.注重发散思维的训练

发散性思维的培养是素质教育的核心.培养这种思维能力,有利于提高学生学习的主动性、积极性、求异性、创新性.因此,我在教学中注重加强对学生发散性思维能力的培养,有意识、有步骤地扩大思路,让学生从多角度思考问题,从而达到训练和培养学生发散性思维的目的.

2.注重數学基本模型的积累,渗透核心素养

数学模型是数学的一部分,数学模型的类型也有很多,本文所说的模型是指一些基本图形.例如,片段二中就用到了“角平分线+垂线=等腰三角形”的模型,再如,三角形全等、相似的一些基本模型等.几何综合题往往因为图形结构千变万化而成为学生的一类难题,但是,如果在解题教学中,教师引导学生将复杂的几何图形分解成一个个简单的基本模型,学生就能快速找到解题的突破口.例如,在片段二中,学生能捕捉到“角平分线以及角平分线的垂线”这一信息,那么可以快速找到本题的解决方法.

3.引导学生做一个喜欢研究题目,善于总结的学生

在日常的解题教学中,我们要选取一些经典的试题作为素材,通过弱化或者强化题目条件、改变图形、联想等方式,巧妙地产生新问题.教师只有在课堂上善于发现新问题,善于思考题目,善于改编题目,才能引导学生,并激发学生的积极性,从而让学生的思维活跃起来,使学生获得学习数学的成就感!

【参考文献】

[1]邵子轩. 例谈解题教学中的模型延伸[J].中学数学教学参考(上旬),2019(08):36-39.

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