王春晓 赵静

【摘要】数形结合是数学学科核心素養的重要内容，本文从与坐标轴交点、极值点、拐点等特殊点出发，以具体三次函数和四次函数为例，由点到线，分析了函数在特殊点附近的单调性和凹凸性，探索了多项式函数作图步骤，为数形结合的进一步深入以及多项式函数的实际应用打下了基础.

【关键词】多项式函数;画图;极值;拐点

一、研究背景

数学学科核心素养主要是指学生在接受数学教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力[1].因此，在数学学科教学中，对数学学科核心素养的培养尤为重要.多项式函数的数形结合，不仅能够帮助我们根据函数表达式解决函数单调性、极值、拐点等问题，得到函数图像，而且能够帮助我们根据实际问题涉及的单调性、极值、拐点等内容，选择合适的函数，得到函数表达式，将实际问题抽象成数学问题，通过解决数学问题来寻求解决实际问题的方法.因此，这里以多项式函数作图为例进行数形结合探索.

二、预备知识

三、多项式函数作图基本步骤

多项式函数作图时首先要考虑函数定义域，找到函数图像中的特殊点，如，与坐标轴交点、极值点、拐点等，确定函数图像变化趋势，最后得到函数图像[3]，具体步骤如下：

第一步：函数定义域

函数定义域是研究函数的基础，也是函数作图必须考虑的.这里涉及的多项式函数定义域为整个实数域R，这里不做过多赘述.但在应用时，要根据生活实际问题确定有效的定义域，避免出现无意义结果.

第二步：判断函数奇偶性

根据函数表达式判断函数是否为奇函数或偶函数，函数奇偶性的判断能够帮助学生从整体上把握函数图像特征.由于奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称，可根据此性质对所得函数图像进行验证，避免作图出错.

第三步：求x→±∞时函数极限

根据x→+∞和x→-∞时函数极限确定函数变化趋势，在坐标轴上描出函数起始和结束大致位置.

第四步：求与坐标轴交点

求多项式函数与x轴交点坐标可通过求方程f（x）=0的解.实际生活中，多项式函数与x轴交点一般不易求得，可借助计算器求得，这里不再赘述.函数与y轴交点可通过计算f（0）的值得到，之后，在坐标轴中描出交点坐标.

第五步：求导数

求函数一阶导数、二阶导数和三阶导数主要是为了确定函数的极值和拐点.

第六步：找极值点

函数的极值不仅是函数图像中非常重要的特殊点，而且是求解函数最值的基础，同时，在局部范围内反映了函数变化趋势（即在极大值附近函数左增右减，在极小值附近函数左减右增）.之后，根据函数极值点位置，在坐标轴中描出函数在极值点附近变化趋势.

第七步：找拐点

根据函数拐点附近凹凸性变化情况[即当f″（xg）=0且f（xg）>0时，在xg附近左凸右凹;当f″（xg）=0且f（xg）<0时，在xg附近左凹右凸].然后，根据函数拐点位置，在坐标轴中描出函数在拐点附近变化趋势.

第八步：连线

用平滑曲线根据函数单调性和凹凸性，由函数起始位置到结束位置将函数极值点和拐点连接起来，得到多项式函数图像.

五、结论与反思

本文主要给出了两个最高次项系数为正的函数作图步骤，实际应用时，多项式函数最高次项系数为负的情况同样也适用.本文根据函数表达式，通过研究函数性质，作出了函数图像.在根据实际问题，提炼函数特征（如单调性、极值、拐点等），选择合适的函数，得到函数表达式方面还有所欠缺.

【参考文献】

[1] 郝旭岚.冀教版初中数学教材学科核心素养探索[J].教育实践与研究，2017（02）：19-21.

[2] 同济大学数学系.高等数学（上册）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]技术专业数学-北威州应用科技大学入学考试[M].柏林：Cornelsen出版社.