武跃祥 周雪艳 高卓艳

【摘要】本文先谈了高等数学教学中的几点体会，然后结合大班授课、小班辅导的授课方式对大数据时代背景下翻转课堂在高等数学教学中的应用进行了探析.

【关键词】高等数学;教学体会，翻转式教学法

【基金项目】山西省教育科学“十三五”规划2019年度课题（GH—19033），山西财经大学教学改革创新项目2019243

一、高等数学教学中的几点体会

高等数学一直在物理、化学、计算机等学科中起着重要作用，随着科学技术的发展以及大数据时代的到来，高等数学更是在很多新兴学科以及一些交叉学科中发挥着越来越重要的作用.在高等数学的教学中，笔者认为应注重以下几方面的教学.

1.目前有相当一部分教师不太重视对数列极限和函数极限概念花很多时间去认真仔细地给学生做讲解，或者说重视程度不够.我们认为讲解好极限概念是高等数学教学中头等重要的事.因为只有深刻理解了极限概念，才能进一步理解好后面的函数连续性、一元函数的导数和多元函数的偏导数、一元及多元的积分等概念，函数的连续性、函数的可导性以及函数的可积性等就是特殊形式的極限.

比如，极限概念的教学，我对数列极限或函数极限有深刻的体会，学生如果能对极限概念掌握得好，那么将对本课程后续知识的学习起到关键性作用.数列极限中的ε-N的定义，ε和N有着丰富的思想内涵，其中正数ε既有任意性又有确定性，ε的任意性说明了ε“要有多小就有多小”，反映了数列an与常数a“想有多近就有多近”，但是在这个过程的任意一个阶段，ε给定后又成为一个相对确定的数.自然数N既具有与ε的对应性又存在可变性，N的大小由ε确定，ε越小，N往往越大，但N又不是唯一的，ε的任意性和相对确定性深刻反映了极限概念中的静止与运动、精确与近似、固定与变化、有限与无限之间的辩证关系，即用一系列的静态去刻画和把握动态，这种静与动的辩证关系正符合事物发展变化的一般规律，ε的任意性表明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.

在高等数学中，极限是基础，后续的许多概念都是以它为基础的，如果这个概念理解不好或没有理解，势必影响后面的学习，所以，建议教师必须在这一部分多下功夫，必须让学生对极限概念有一个很好的理解和认识.除了对教材上的例子做讲解外，对其中的习题也要做较多的讲解，还可考虑从课外找些题来讲.否则，将对他们以后的学习带来不少麻烦.

2.对无穷小记号o（f（x））的理解，很多学生不理解这个记号的含义，它实际上是所有比f（x）高阶无穷小的一个函数类，是一个集合的记号.另外，对无穷小代换方法求极限也要有足够的重视.上课的时候，教师除给学生讲解无穷小代换定理外，还需要强调一些应用此定理的注意事项，乘除情况下一般没啥问题，但和差情形下就得小心了，多用此定理做几个例题，并指出几个等价关系.讲过此节以后，一定要强调让学生学会和应用好这个定理.有许多习题，如果用无穷小量代换方法求极限，就很简单，但如果用洛必达法则来求则很麻烦，或者说求不出来，或者说虽然能求出来，但求的很费事.所以在教学中一定要注意这个问题.

3.此外就是如何正确使用微元法的问题.在谈到这个话题时，要举一个求旋转体的侧面积问题，这个例子大部分教师没给学生讲过，可以说是一个失误.因为不举这个例子就说明不了正确使用微元法的问题.事实上，在一个小区间上所对应的侧面积不能看成圆柱的侧面积.微元法问题贯串于一元和多元函数微积分的应用中，如求面积、求体积、求做功、求长度、求质心等许多问题.否则，学生会对微积分的应用感到有些不相信，始终会抱有疑问.

4.关于微分方程问题，我们要特别注重与数学建模的联系，要讲解一些生动的数学模型.应该特别注重对微分方程所求得的解做定性分析，研究这个解有何特性，在实践中有何意义.这是目前在教学中所不太注意或者说欠缺的问题.也许是因为在讲这一章时，已经到了学期末，时间有点紧张.不管何种原因，学生对这部分内容的理解不够好，失去了对这部分的兴趣.

高等数学的教学中一定要注重对学生数学思想方法的教育，重视数学在实际中的应用的讲解，避免一味地灌输一些数学理论和数学公式，要合理地发挥教师的主导作用和学生的主体作用，适当地提问学生，提高学生的注意力和学习的积极性、主动性.

二、高等数学翻转式教学法

大数据时代背景下“翻转课堂”在特定条件下因能比较有效地改善教学效果而广受国内外教育工作者的关注，当前，翻转课堂教学已经成为各大高校课堂的首选改革模式，作为多门学科中的重要工具的高等数学也应该积极进行翻转课堂教学改革.

翻转课堂模式在多个高等学校的部分课程中已经积极开展起来，通过改变传统教学中的师生角色和对课堂时间的重新规划，实现了知识传授和知识内化的颠倒安排，完成了对传统教学模式的改革创新.然而，经调查发现，目前大部分教师还不情愿进行翻转课堂教学，他们在课堂上传统讲授已经习惯了，觉得按自己的思路引导学生一步一步地学习知识就不错，而进行翻转课堂教学单备课花的时间更多更费事不说，学生学习的主动性虽然强了，但学习效果对大部分学生来说并不一定好，他们说高等数学内容有相当大的难度，不是靠自学就能学好的.笔者认为这些教师说的不是没有一定道理，但也不是就完全没必要进行翻转课堂教学，个别内容、个别知识还是可以进行翻转教学的.目前，个别教师对高等数学的翻转课堂实施情况也仅局限于传统课堂上的讲授时间的调整、师生互动次数上的调整.总之，高等数学翻转课堂模式的应用还远远不够，如何推广这种教学模式和推广到什么程度使其效果发挥得更好必定还需我们做很多的努力.

在教学内容方面，现今的高等数学的教学仍然过于注重数学概念、数学定理的推导与证明、数学计算以及解题的技巧，使数学知识变得更加抽象和枯燥，与现实生活中的实际问题有一定的距离.在授课过程中，任课教师过分强调数学的逻辑性和严密性， 使学生无法完全理解抽象的数学知识， 从而对高等数学学习失去一定的兴趣.尤其在课堂上，任课教师和学生的互动一般都较少.

传统的“大班授课、小班辅导”模式，主要是由主讲教师对高等数学内容进行大班讲授，人数在90～200人不等;由助教或青年教师开设小班輔导课，40～50人，主要是通过归纳总结课堂知识、讲解课后习题、课堂讨论、叫学生上黑板做题等方式进行辅导，从做题中掌握高等数学知识.这种传统的模式，在20世纪八九十年代曾经普遍应用过，当时招生规模比较小，教学效果也非常好.但随着招生规模的扩大，师资力量严重不足，就逐渐行不通了.许多学校因学生人数众多，不得不把刚刚进校任教的青年教师拉上讲台主讲高等数学，就这样还常常显得师资力量不足，更不用说给学生上小班辅导课了.自此以后，大多数高校就基本上没有辅导课了，给学生学习高等数学或多或少带来了一些负面影响.

笔者认为并不是高等数学的所有内容都适合用翻转课堂教学来取得好效果，比如极限概念、极限存在准则、无穷小与无穷大、导数与微分概念、隐函数求导、泰勒公式、定积分、曲线积分与曲面积分等许多内容就不适宜用翻转课堂教学法，而个别内容如极限运算法则、高阶导数、函数单调性判断、向量及其运算、收敛级数性质等不妨一试，即便使用翻转教学法也得预先精心设计.进而如何将翻转课堂应用于高等数学的部分学习内容引便发了笔者的积极思考，对教授高等数学的一线任课教师来说也是一个极大的挑战，经过一段较长时间的分析、调研和总结，笔者将翻转课堂需要注意的几点阐述如下，以供读者参考.

1.教师多方面发布学习内容.

翻转课堂教学首先需要教师进行学习内容的传递，可以通过课件、微课等来进行.教师要提前准备视频、课件等教学资源，这些资源可以由课程主讲教师亲自录制或者查找，多渠道地搜集与教学内容相符的视频、网络上优秀的教育资源等.督促学生根据自己的条件和喜好选择适合自己的方式进行学习.这样不仅提高了资源的利用率，还节省了人力、物力和财力，也使学生感受到众多教师的教学方法和授课技巧，开阔学生的视野，给学生耳目一新的感觉，调动学生的学习积极性.

2.课中明确学习任务.

分为三步：第一步，引导学生对收获和疑问进行记录;第二步，及时将遇到的疑难问题通过QQ、微信等方式传送给老师，以便老师在课上做到心中有数;第三步，根据学生反馈的情况，老师需要归纳整理，引导学生利用已有知识解决新问题，从而完成向新知识的过渡.

3.当堂答疑，及时纠正学生理解上的错误，讲解重难点问题.

4.课后通过电脑、QQ、微信等网络平台并利用现有手中的资源，及时地进行沟通辅导，因材施教.充分利用电脑、手机、QQ、微信等平台课后解答学生的疑难问题，对学生随手可及的资源有针对性地辅导，以加强对学习内容的巩固和对疑难问题的理解.

5课堂教学效果评价.

为了展示学习效果，在学生完成翻转课堂学习之后，按照知识重点、难点等内容合理地划分时间段，适时组织学生在课堂上进行报告，分享取得成果的心得和体会，交流学习体验.在成果交流中，报告人和非报告人之间最好能进行辩论和交流，且辩论得越激烈越好，教师一定不要打断他们.在课堂直接进行汇报之后，教师和同学可在课堂上进行讨论、评价，综合打分.

6.学生自评，记录整个学习过程，建立学习档案.

首先，学生要进行自评.翻转课堂不仅涉及学生的自学能力、独立性，还涉及学生的合作能力、表达能力等.其次，老师要对学生整个的学习过程进行记录，并建立学习档案.记录、建档、评价的内容涉及多个方面，在自学过程和小组学习中的表现、学习时间安排、效果和成果展示等，真正的评价的作用在于提醒学生对知识和技能的掌握程度，强调学生在翻转课堂学习过程中的表现，强调了平时学习的重要性.

笔者认为新时代背景下学习高等数学不能单纯地依靠死记硬背，亲自动手练习、自主探索与合作交流是学生学习高等数学的重要方式.在翻转课堂教学中，更加注重的是学生的主动性，是教师和学生之间的互动，是将课堂的主动权交给了学生，让学生成为课堂的主人.有的人认为，翻转式学习是小学、中学的事，高等数学中还能进行翻转式学习？事实上，高等数学教学中进行翻转式学习确实是很困难的，但有些内容有些知识有时通过翻转式学习，一方面能够使学生获得一些必要的数学知识，另一方面能够培养学生的自主学习能力和创新能力，提高学生学好高等数学的自信心，使学生在以后的发展中受益.

例如，在求∫dxx2x2-1的教学中，可首先把学生分成若干小组，让他们先自主讨论，然后分组汇报学习成果，最后分析其中的不足，选取较优的解题方法.这样我们把学习的主动权还给学生，教师成为学习的引导者和组织者，从而较大地提高学习效率，激发了学生的学习积极性.以下是几种代表性解法.

传统教学中则是教师直接去讲解，学生处于被动接受的地位，不便于发挥学生的主动性和积极性，翻转式学习不仅激发了学生的兴趣，还培养了学生的发散思维和合作能力.

总之，新时代背景下把新的教育教学理念运用到高等数学的课堂教学中是至关重要的，这不仅要求教师要有渊博扎实的专业知识，还要改变教育教学观念，有过硬的教学基本功，这就要求我们努力学习专业知识和教育理论，真正使自己更上一层楼.

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