李小朝

(黄淮学院 数学与统计学院，河南 驻马店 463000)

在文献[1,2]中，山东大学史开泉教授改进有限普通集合X，把动态特性引入到该集合X内，提出P-集合的概念.P-集合是动态集合，可以在一定条件下还原为普通集合，其在数据恢复、图像处理等动态信息系统方面中获得应用[3-8].上述研究文献中的P-集合都是有限元素集，我们当然可以把它推广为无限元素集,或者是向量空间的情形.假设集合X中的元素都具有属性(或限制条件)集合α，通过补充属性，满足这些属性的元素当然会减少，也即是有元素迁出，得到内P-集合.反之删除属性，会有元素迁入得到外P-集合.然而属性集合α={α1,α2,…,αk}中的属性并不一定都是有效的，例如一堆苹果具有属性：α1=红色，α2=味甜，α3=产自烟台，α4=产自山东；由于产自烟台肯定产自山东，因此α4是无效属性可以删去，对集合没有影响.这些特性可以在代数中找到例子，也就是要找的代数模型.本文结合线性方程组解空间的理论，把P-集合的概念引入到向量空间上，给出含有无限元素的P-集合的代数模型——P-向量空间，并研究了该模型的一些基本性质.

1 基本概念

(1)

(2)

给定具有有限元素的普通集合X={x1,x2,…,xq}⊂U,α={α1,α2,…,αk}⊂V是集合X的属性集合，称XF是被X生成的外P-集合

XF=X∪X+,

(3)

(4)

(5)

(6)

2 P-集合的代数模型

本节考虑齐次线性方程组的解空间，引入动态特性，给出P-集合的一个具体代数模型，也就是P-向量空间.设在数域P上，齐次线性方程组的一般形式为

(7)

设Pn={(a1,a2,…,an)T|a1,a2,…,an∈P}是n维列向量空间，Y=(y1,y2,…,yn)T.令αi=(ai1,ai2,…,ain)T,i=1,2,…,m，则线性方程组(7)即为

(8)

定义1中的论域U,V都是有限元素的，我们当然可以把它推广为无限元素的情形，这里U,V都取n维向量空间Pn.我们把P-集合推广为含有无限元素的P-向量空间情形.

设线性方程组(7)或(8)的解空间为S(S⊂U)，则S中的元素满足方程组(7)，或者具有属性集合α={α1,α2,…,αm}⊂V，此时称向量空间S具有属性集合α.属性集合α中属性α1,α2,…,αm的秩称为α的秩，可以看到它也是线性方程组(7)系数矩阵的秩.

2.1 内P-集合的代数模型

这里的内P-向量空间即为一个具体的含有无限元素的内P-集合的代数模型.

定义3若属性αi′可以由属性集合α中的属性线性表出，则称αi′是无效属性；若αi′不能由属性集合α中的属性线性表出，则称αi′是有效属性.

证明 由于αi′是有效属性，则属性集合αF的秩等于α的秩加1.又解空间的维数等于未知量个数n减去系数矩阵的秩，结论显然成立.

同样容易得到如下结论：

2.2 外P-集合的代数模型

定义4若属性αj′可以由属性集合α中其余的属性线性表出，则称αj′是无效属性；若αj′不能由属性集合α中其余的属性线性表出，则称αj′是有效属性.

这里的外P-向量空间即为一个具体的含有无限元素的外P-集合的代数模型.

定理4若属性αj′是无效属性，则有外P-向量空间SF=S.

定理5设属性αj′是有效属性.则有外P-向量空间SF的维数等于向量空间S的维数加1，即dimSF=dimS+1.

同样容易得到如下结论：

定理6若属性集合αF的秩等于0，则有外P-向量空间SF=Pn.

3 小 结

P-集合是一个新的数学概念，尽管已有许多应用，但是寻找更多的代数模型很有必要.这些代数模型可以为P-集合提供更好的理论保障，使P-集合建立在更扎实的理论基础之上.本文即是开展这些重要研究的一个开始.