张蔼东

反比例函数、一次函数、二次函数、三角形等的综合题是中考的重点之一，出现在广东中考解答题（三）的第23题，难度较大，但学生能否在该大题得到理想的分数，将影响学生在整份中考试卷的考试心理和得分，亦是拉开考生之间分数差距的题之一。在平时的复习备考中已复习函数等的相关知识，但计算准确性、答题速度和规范性需要加强。通过培养并形成将压轴题化难为易的能力与意识，体会数形结合思想、转化思想、函数思想、方程思想在数学问题解决中的作用，增强解决函数综合题的自信心。在解决问题中能用待定系数法求函数表达式，能根据两点之间线段最短，把求图形最小周长转化为求线段长问题，要掌握直角坐标系中求图形面积的常用方法。

一、教师用PPT课件的幻灯片展示下列问题

1.抛物线y=-x2+bx+c交y轴于点C（0，3），交x轴正半軸于D，并且与直线y=kx+b交于点A（2，3）和B（1，4），求一次函数表达式和抛物线y=-x2+bx+c的表达式。

2.两点之间        最短。

3.将军饮马问题。

4.二次函数取得最大值或最小值，与y=ax2+bx+c中的哪个量有关？

二、解决疑难问题的思路与方法

教师让学生独立思考，动笔做题，然后回答问题，从而总结出以下思路与方法：

1.因为点A、点B在直线上，所以把点A（2，3），B（1，4）代入y=kx+b得：k=-1，b=5故一次函数表达式为 y=-x+5，再把 A（2，3）、B（1，4）或C（0，3）代入y=-x2+bx+c得b= 2， c=3.所以，二次函数的表达式为：y=-x2+2x+3.

2.线段。

3.教师出示关于将军饮马的问题解决方法：（1）如下左图，直线L的两侧两点A、B，在直线L上求作一点P，使PA +PB 最小。

（2）如上右图，直线L的同侧两点A、B，在直线L上求作一点P，使PA+PB 最小。

（3）如下左图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM，ON 上作点A、B，使△PAB 的周长最小。

（4）如上右图，点P，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM，ON 上作点A，B。使四边形PABQ的周长最小。

4.与a值有关。通过上面的学习之后，教师自编一些相关联的题目，检查学生应用知识解题的情况，同时，也便于教师很好地了解学生已有的函数综合的基础、答题规范等。学生“动手做”是“感悟”的基础。

5.教师出示自编题练习。如图，抛物线y=-x2+bx+c交y轴于点C（0，3），交x轴正半轴于D，并且与直线y=kx+b交于点A（2，3）和B（1，4）。

（1） 在y轴上，是否存在一点E，使得ED+EB最小，若存在，求出这个最小值及点E的坐标;若不存在，请说明理由。

（2）连接BC，BD，CD，求△BCD的面积。

6.教师请学生思考并讨论以下问题

①解决本题的第（1）问的关键是什么？如何才可以找到点E呢？

②你能说说第（2）问的解题思路吗？你能用多少种方法？

教师先重点分析以下方法：（1）采用竖割法分割成两个三角形进行计算

过点B作BF∥y轴，交CD于点M，过点C作CF∥x轴，交BD于点F。

（2）采用横割法分割成两个三角形进行计算。

让学生5人一小组，分组讨论，学生代表来说题，师生齐归纳：

①解决本题第1问的关键是：找点E。那如何找点E呢？只需要作点B或D关于直线（x轴或y轴）的对称点，连接对称点与另一点的交点即为所求点E，也就是将军饮马问题。

②第（2）问的解题思路及做法如下图所示：

三、学生书写解题过程

解：（1）存在。把B（1，4）和C（0，3）分别代入y=-x2+bx+c得

解得

所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.令y=0，即-x2+2x+3= 0，解得x1=3，x2=-1故D（3，0）.

作点B关于y轴的对称B'（-1，4），连接DB'交y轴于点E，即点E为所求。设直线 D B'的解析式为：y=k1x+b，把 B'（-1，4）、D（3，0）分别代入上式解得：k1=-1，b=3，故直线DB'的解析式为：y=-x+3.当x=0时， y=3.所以点E的坐标为（0，3），点E与点C重合。所以ED+EB=ED+EB'=DB'=.

（2）（竖割法）过点B作BF∥于y轴，交直线CD于点M，则S△BCD=S△BCM+ S△BDM，因为OD=3，又因为C（0，3），所以设直线CD的解析式为：y=mx+n，把C（0，3）、D（3，0）分别代入上式解得：m=-1，n=3，故直线CD的解析式为：y=-x+3.把x=1代入上式得：y=-1+3=2，点M（1，2）故BM=4-2=2， 所以S△BCD=S△BCM+ S△BDM= BM（1+2）=×2×3=3.

通过一题多变，目的是培养学生的分析问题的能力、辩别图形的能力、推理能力、计算能力、举一反三的能力。

四、教师出示变式训练一

如图，抛物线y=-x2+bx+c交y轴于点C（0，3），交x轴正半轴于D，并且与与直线y=kx+b交于点A（2，3）和B（1，4）。

（1）求证：点B是抛物线y=-x2+bx+c的顶点坐标。

（2）在y轴上，是否存在一点E，使得以D、B、E三点所构成的三角形周长最小，若存在，求出这个最小值及点E的坐标;若不存在，请说明理由。

（3）在直线CD上方的抛物线上，是否存在一点B1，使得△B1CD的面积最大。

2.教师设计问题引导学生思考、分析：

①本题的第（1）问有什么特点？

②本题的第（2）问与第5题的第（1）问有什么不同？

③如果用竖割法解决本题，点M的坐标随着哪个点的坐标变化而变化呢？

④点M的坐标和点B1的坐标应该怎样设置呢？

五、变式训练二：（改编）

如图，抛物线y=-x2+bx+c交y轴于点C（0，3），交x轴正半轴于D，并且与与直线y=kx+b交于点A（2，3）和B（1，4），若点 P是y轴的一动点，则在x轴上是否存在一点Q，使A、B、P、Q四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点P、Q的坐标;若不存在，请说明理由。

随着题目的难度逐渐增加，目的是培养学生应用知识的能力以及知识迁移的能力。通过解决一道题以及其变式题来理解同一类问题的方法，以求达到做一道而通一类的效果。总结、反思和提炼函数综合题的主要类型、解决问题的策略和主要数学思想方法。通过这样的练习培养学生的总结能力，让学生更好地掌握解决此类问题的方法与技巧，形成将压轴题化难为易的能力与意识，提高学生的数学成绩。