李志秀

(晋中学院数理学院，山西晋中030600)

对于一个给定的群G, 若存在另一个群H使得H/Z(H)=G, 则称G可以充当中心商, 或称G为capable 群。早在1938 年Baer 开始研究中心商问题，后来许多学者都研究过此问题。

对中心商问题的研究,P Hall 在他的p-群研究的奠基性论文[1]中做了如下评论：

The question of what conditions a groupGmust be fulfill in order that it may be the central quotient group of another groupH,H/Z(H)=Gis an interesting one. But while it is easy to write down a number of necessary conditions it is not easy to be sure that they are sufficient

借助群的扩张理论,通过换位子计算文中得到了一类p2m+1阶群不是capable 群，并且得到了一个特殊的3-群为capable群，由3-群G构造出了群H,使得H/Z(H)=G。

若无特别说明，所用的符号和概念均取自文献[2-3]。

定理1设p是奇素数,m是大于1 的正整数,则群

不是capable群。

证明若存在群H, 使得 、H/Z(H)=G时,由c(G)=2, 有c(H)=3,H亚交换, 即G为亚交换群的中心商。 设H=。 因为 [a,b]∈Z(H),,所以 [a,b]=[a,b]c, 即有 [a,b]=[ac,bc]=[aapm-1bpm-1,ba-pm-1], 由 m ≥2 及bpm属于中心可得： [a,b]pm=[a,bpm]=1,[a,b]是pm阶元，且[apm-1,bpm-1]=[a,b]p2m-2=1,故有[ac,bc]=[a,b][apm-1,b],即[apm-1,b]=[a,bpm-1]=1,bpm-1与a交换且 [b,c]与b交换。进而可得： [bp,c]=但cp与[b,c,c]属于中心, [b,c,c]p=

所以[bp,c]=1。即与a和c交换,矛盾。G不是capable群。

推论1设G为下列群之一：

则G不是capable群。

定理2若G为群,

则G是 capable 群。

证明从34阶交换群出发, 作循环扩张可构造出,使得H/Z(H)=G。

可证σ是A的32阶自同构。 设是 32阶循环群,且b在A上的作用与σ相同。

在a3中规定映射：β：a→ab3,b→bd,d→d, 再把它扩充到整个B上。

可证β是B的3阶自同构。设是 32阶循环群,且 c 在 B 上的作用与 β 相同, 令H=B则

所以 G 是 capable 群。