李飞 姜攀 牛晋徽

微积分是数学史上一个伟大的发明。微积分在两千多年前就开始萌芽，但真正开始发展是从16世纪开始的，并由牛顿和莱布尼兹在17世纪建立，然而为它打好逻辑基础的是19世纪柯西。从此之后，微积分成了各学科中重要的数学工具。

1 引言

在高等数学的教学中，微积分是教学难点之一，学生普遍反应微积分的许多概念和公式比较难以理解。近几年国内外越来越多的大学在数学教材引入数学史的知识，通过“历史线索”和“历史原型”来组织高等数学的教学，使学生真正理解课本上抽象的概念和形式化的公式背后的实际内涵。为便于将数学史引入高等数学的教学中，本文简单地介绍一下微积分的发展历史。

2 微积分的发展历史

微积分从发端至今已有两千多年的历史，并且其发展并不是一帆风顺的，本文将其分为四个阶段：萌芽阶段;酝酿阶段;创立阶段;发展阶段。

2.1 萌芽阶段

2000多年前东西方的数学家就开始对微积分思想的萌芽和探索。这个阶段对后世最有影响的是古希腊的数学发展。

古希腊的数学并不是单独的一个分支 ，而是与天文 、哲学密不可分的，其研究对象以几何学为主。这一阶段最重要的两个哲学思想是“穷竭法”和“原子论”。公元前5世纪，古希腊诡辩学派的安提丰（Antiphon）为解决“化圆为方”的问题，提出如下方法：“先作一圆内接正方形，将边数加倍，得内接8边形;再加倍，得16边形。如此作下去，最后正多边形穷竭了圆。”该方法被阿基米德（Archimedes）发展为“穷竭法”。同样在公元前5世纪，德谟克利特（Demokritos）提出了“原子论”，并用“原子论”解释数学概论，提出：“线段、面积和立体都是由一些不可再分的原子构成的 ，而计算面积 、体积就是将这些‘原子累加起来”。他根据这一思想来求解圆锥体的体积，发现“圆锥体积等于具有同底同高的圆柱体积的三分之一”。但这一结论的证明是由攸多克萨斯（Eudoxus）完成的。德谟克利特认为圆锥体是由一系列底面积不等的不可再分的圆形薄片构成，因此圆锥体的表面不光滑。（见《几何原本》）

到公元前三世纪，古希腊哲学家阿基米德将“原子论”和“穷竭法”结合在一起，解决了许多问题，并编写了著名的数学著作《几何原本》。其中在《抛物线弓形求积法》和《论螺线》中，利用分割求和、逐次逼近，求出了抛物线弓形的面积和阿基米德螺线第一周围成区域的面积。

在萌芽阶段，数学家产生了微积分的萌芽“原子论”，和极限思想的萌芽“穷竭法”。但这一阶段“极限”的概念还没有真正出现，数学家不承认“无限”，因此在这一阶段数学家解决几何问题都是进行有限次分割，分割下来的每一个“元素”都是有有限的宽度或厚度。

2.2 酝酿阶段

从萌芽到微积分开始酝酿前经历了一段漫长的中世纪时期，包括三个主要的阶段：（1）首先，古希臘的文化遗产最终由领土逐渐缩小的拜占庭帝国保存下来;（2）到公元7、8世纪，阿拉伯帝国继承了希腊罗马的古典名著，确定了代数、三角学以及数学符号化，建立了“阿拉伯数学”，最后“阿拉伯数学”和“印度—阿拉伯数码”重新传到西欧;（3）在欧洲，对无限的讨论以及对运动和速度的研究已成为数学家们注意的中心（如德国的红衣主教库萨的尼古拉）。这些中世纪时期数学知识经过继承、发展和交流，为文艺复兴时期微积分的酝酿以及后来微积分的正式创立提供了学术基础。

2.2.1 积分学的发展

在16世纪，数学家主要尝试用积分学解决“求积问题”，这包括两个方面：（1）求平面图形的面积和由曲面包围的体积;（2）静力学中计算物体重心和液体压力。为解决这个问题，德国天文学家、数学家开普勒（Johannes Kepler）在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中 ，提出“任何给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的， 用某种方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积”的方法。开普勒引入无限的概念，提出了不成熟的无穷小量（用抽象的“纤细的小圈”或“宽度极小如线的部分”等描述）和连续性的思想（他认为一个无穷小元素通过连续变化可得到原来的图形）。开普勒的弟子卡瓦列里（Cavalieri）组织并发展了开普勒的无穷小思想，著作了《用新的方法促进连续不可分量的几何学》一书，在该书中建立了“不可分量原理”。然而他把几何图形不再看作同维无穷小元素，而是看作由维数较低的无穷小元素所组成，并把这些无穷小元素称为“不可分量”，这个观点被托里拆利（Torricelli）修正，重新用开普勒的同维无穷小去代替卡瓦列利的不可分量。

到17世纪中叶，利用分割求和及无穷小的性质求积的方法被数学家普遍采用，解决了求曲线的长度、曲线围成的面积和体积、物体的重心等问题，因此当时积分又被称为“无穷小分析”。其中法国数学家帕斯卡的积分法更加接近现代的求定积分的方法，他采取了略去无穷序列之和的高次项的方法，这种思想对牛顿有很大影响。

2.2.2 微分学的发展

相比积分学的几何直观，在数学史上微分学的诞生是比较晚的，它的概念和法则是16世纪下半叶后与近代力学同时产生和发展起来的。但直到笛卡尔在1637年发表的《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》确立了解析几何，才为微分学的发展提供了理论基础。在17世纪上半叶，为解决力学和天文等方面的问题，如求变化率和切线、函数的极值、物体在任意时刻的速度和加速度等，笛卡儿（Descartes）和费马（Pierre de Fermat）引入解析几何，将几何问题归结为代数问题，使微分学有了极大的发展。

费马在1637年发表了《求最大值和最小值的方法》，记述了一个借助微小增量求曲线切线的方法，这是微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作。到1638年，笛卡尔基于此提出割线移动决定切线的思想。另一个求切线的方法是笛卡儿的“圆法”，通过代数找到一个与曲线相切的圆来确定法线和切线。这种方法推动了微积分的早期发展，成为牛顿就研究微积分的起跑点。另一方面，费马在写给梅森（M.Mersenne）的一封手稿上记载了求函数的极大值和极小值的方法，该方法的本质是用代数的方法找到导数为0的点。

费马在求切线和极值时，没有引入无穷小的概念，不具有普遍性，但他发现求切线和求极值有相同的数学结构，这成为求导运算的雏形。费马的方法对微分的发展有很大的影响。

2.2.3 微积分统一的前期探索

在微积分的酝酿阶段前期，微分学和积分学都得到了进一步发展，但两者是作为独立的数学问题分别加以研究的。在后期，在积分学的发展中起到重要作用的无穷小概念，被引入微分学，使数学家发现了两者间的联系，逐渐向牛顿和莱布尼茨微积分的过渡。

把无穷小引入微分学的开创工作是由布莱斯·帕斯卡（Pascal Blaise）完成的。在他的《四分之一圆的正弦论》这一著作中，他将无穷小引入微分学（求切线）作出“微分三角形”，认为能把曲线看成直线，并进一步作出切线。这是微积分发展史上的重要事件，然而他没有进一步进行代数处理并致力于切线的求法，但对莱布尼茨的微积分产生了直接的影响。而英国的沃里斯（J.Wallis）基于解析几何和卡瓦列里的“不可分量原理”，将微积分问题彻底转化为代数问题而完全脱离几何表示，并第一个提出无穷大的概念。真正将微分和积分联系起来的是英国的伊萨克·巴罗（Isaac Barrow），他采用几何方法，在他的《几何讲义》第十讲的命题十一和第十一讲的命题十九把“求切线”和“求积”作为互逆问题联系起来。同时，他将“微分三角形”和费马的方法结合起来，发现了函数增量和自变量增量之比对于切线的重大意义。

微积分的酝酿阶段以费马和巴罗为标志而结束，但当时的数学家关注的是具体几何特有的解答方法，而不具有普遍性。

2.3 创立阶段

在酝酿阶段，数学家对微分和积分做了大量论证工作。到1670年以后，牛顿和莱布尼茨发现微积分相关理论内容完整、前后一致并且有多方面的应用，于是把微积分作为一种具有普遍性的演算方法来总结和发展，最终他们分别独立的完成了建立概念、提炼出具有普遍意义的微积分方法、把概念和方法的几何形式改变为解析式等三个重要工作。

1664年，牛頓受笛卡儿求切线的“圆法”启发，开始了对微积分的研究。牛顿微积分主要研究运动学，以速度形式引进了“流数”（即微商）概念。他以无限小量（牛顿称为“瞬”）为论证基础，基于帕斯卡的方法，在运算中采用将式子展开后再略去含有无穷小量的高次项的方法。在1665和1666年分别发明了“正流数术”（微分法）和“反流数术”（积分法），记录于《流数简论》（1666年完成）中，成为历史上第一篇系统的微积分文献。牛顿从确定面积的变化率出发通过反微分计算面积，建立了所谓“微积分基本定理”，揭示了微分和积分的互逆关系。这样，牛顿将求解无限小问题的各种技巧统一为正、反流数术（微分和积分）两类普遍的算法，并证明了两者的互逆关系而将其进一步统一成整体，微积分正式建立。但《流数简论》的微积分还不成熟，牛顿直到1693年都在不断完善自己的微积分学说，先后完成《运用无限多项方程的分析》（1669年完成）、《流数法与无穷级数》（1671年完成）、《曲线求积术》（1691年完成）。这个过程中牛顿否定了《流数简论》无限小量的方法（随意忽略无穷小瞬），而引进了导数和极限的观点（初生量最初比和消失量最后比）。牛顿过于借助于物理直观，缺乏严格性的逻辑推导，其表达有些含混不清，微积分还有不完善的地方。

莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）通过卡瓦列里、帕斯卡、巴罗等人的著作，了解并开始研究求曲线的切线以及求面积、体积等微积分问题。莱布尼茨的微积分主要研究几何特别是“微分三角形”问题，并发现曲线求切线和求积问题的互逆关系，并作为后续研究的出发点。莱布尼茨的研究成果被记载于共约100页的札记《数学笔记》中，这些手稿散乱且难懂，被他于17世纪80年代初总结并整理成文。1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号“”，明确陈述了函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，这篇论文初步论述了求积问题与切线问题的互逆关系，即微积分基本定理，同时第一次出现了积分号“”。莱布尼兹的一套微积分符号是对微积分的重要贡献，被沿用至今。

牛顿的积分研究的是面积的变化率问题，本质是原函数的概念，因此牛顿的积分是不微积分;而莱布尼兹的积分依赖于横坐标上无限小区间的纵坐标（或无限小矩形）之和，他的积分是微积分。然而，牛顿和莱布尼兹都没有很好的解释无穷小的概念，牛顿因此开始采用了不成熟的极限观点，而莱布尼兹由于没有引入极限的概念，微分的定义面临困境。

2.4 发展阶段

牛顿和莱布尼兹建立了微积分方法， 但是， 还有两个问题需要解决：首先是微积分的主要内容的扩展;其次是微积分的逻辑基础的完善。

2.4.1 微积分的推广

18世纪， 微积分进一步发展，被称为“分析的时代”。雅各布.伯努利（Jakob Bernoulli）和约翰.伯努利（Johann Bernoulli）继承和发展了莱布尼兹的微积分理论，把微积分推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论，并推动了无穷级数、微分方程、变分法等微积分分支学科的发展，构建了现代初等微积分的大部分内容。在英国， 布鲁克.泰勒（Brook Taylor）和科林.麦克劳林（Colin Maclaurin）继承了牛顿的无穷级数理论，创建了泰勒公式和麦克劳林公式。

2.4.2 微积分的奠基

尽管牛顿和莱布尼兹的微积分取得了惊人的成就，但其理论不牢靠，有些概念十分模糊（主要是对“无穷小量”的解释）。英国主教乔治.贝克莱（George Berkeley）强烈抨击牛顿的理论，提出“贝克莱悖论”：“无穷小作为一个量，一会说是0，一会说不是0，那它一定是‘量的鬼魂了”，引发了长期关于微积分逻辑基础的探讨，数学史上称为“第二次数学危机”。

为建立严格的微积分逻辑基础，数学家主要提出了两个思路。一是从泰勒和兰道（Landau）开始到拉格朗日（Lagrange）的学派，打算放弃无穷小量，而用有穷量的代数分析取代微分学。这种方法有助于引入导函数的概念，揭示了微分学与代数的联系，但并没有真正进入微分学。二是从达朗贝尔（d'Alembert）和欧拉（Euler）开始到柯西（Cauchy）的学派，试图用极限的方法给微积分奠基。其中柯西在1821—1823年出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》成为数学史上划时代的著作。他给出极限比较精确的定义，然后用它定义了连续、导数、微分、微积分和無穷级数的收敛性。后来魏尔斯特拉斯（Weierstrass）创立“”语言严格定义了极限，才结束了“第二次数学危机”，并沿用至今。此外，柯西给出了原函数的准确定义，并推导出牛顿——莱布尼兹公式。至此，柯西建立了一套完整的积分理论。

2.4.3 微积分的发展

然而，由于历史原因，柯西的积分理论是基于闭区间上连续函数发展的，当闭区间上有无限多不连续点时，柯西积分就不适用了。

狄利克雷（Dirichlet）建立了一个高度不连续的函数“狄利克雷函数”，显示了柯西方法的不足之处，并提出“可以用一种新的包容性更强的积分理论来处理在闭区间上具有无限多不连续点的函数”的想法。狄利克雷的学生黎曼实现了这个想法，在1854年为获得德国大学的教授职位而写的《大学执教资格讲演》学术论文中提出了黎曼积分，找到了不需要预先假设函数的连续性就定义积分的途径，使可积性同连续性分离。与有界函数的黎曼积分对定义域无穷分割开始构建微积分不同，勒贝格（Lebesgue）提出的勒贝格积分是对函数值域进行无穷分割的，使得勒贝格可积函数远多于黎曼可积函数。这样狄利克雷、黎曼等重建了积分的定义，使微积分可以处理闭区间上具有无限多不连续点的函数。

3 总结

微积分的发展经历了2000多年的发展，经历了萌芽阶段、酝酿阶段、创立阶段和发展阶段四个时期。在许多数学家的努力下，伴随着许多相关理论和分支学科的建立，才发现了现在经典的微积分基本定理，牛顿——莱布尼兹公式。从此，在许多学科领域微积分成了解决问题最有力的数学工具之一。直到现在，面临实际应用问题的复杂化，微积分的理论还在继续发展。

基金项目：本文系江西省高校人文社会科学研究2017年度项目“高职数学教学中融入数学史的研究”（编号：JY17116）阶段性成果。

（作者单位：江西泰豪动漫职业学院公共基础教学部）