单和平

数学思想方法是数学的本质，是数学教学的精髓。主元变更思想是近几年数学解题流行的较重要数学思想。所谓主元变更是对于含字母较多的式子转换思维角度，选择另外的字母为主元从而使问题豁然开朗，文章通过近年的教学实践，系统总结了处理哪些问题可以通过主元变更，如何进行主元变更化难为易。

对于一个含有多个字母的式子、函数或方程，由于思维定势从表面看我们往往会先入为主，把它当成某一个或两个字母的常规表达式，这样解决问题时往往一时无法下手，利用已有的知识捉襟见肘，但是如果我们转换思维角度，变更主元，即重新选择其中的一个或两个字母作为主元，问题的思路就会明晰，问题的本质就会豁然开朗，问题的解决就非常顺利，这种思想叫主元变更的思想。

近几年，该思想的应用在数学竞赛和各类考试中屡见不鲜，而这种思想在中学数学教学过程中，往往重视不够，学生遇到这类问题常常束手无策或用很繁琐的方法解决，本文结合个人的教学实践，谈谈如何利用主元变更解决问题。

1 处理方程问题

上述两例一个设常数为主元，一个换成另一个字母为主元，目的都是将高次转化为低次从而易于分解，顺利求解。

2 解决有解或整解问题

分析：解决整数解问题一般采用判别式法、韦达定理法、求根法中一种或几种方法综合使用，本题这些方法都失效，转换思维角度，若把

上述两例直接求解分类较繁，若变更主元则很顺利求出参量的范围，题目迎刃而解。

3 求参数范围

上述两例都是函数问题，处理函数问题一般利用其性质解题，但有时若正面处理就会对参数进行繁琐的讨论，如果我们换一个思维角度，把函数视为另一个变量的函数，则豁然开朗，问题很快得到解决。

4 证明不等式或利用不等式处理问题

分析：该题最传统的证法是构造边长为1的等边三角形，用面积法很快得证。我们还可以整理成以为主元的一次函数，即构造

例8.各项均为实数的等差数列，其公差为2，其首项的平方与其余各项的和不超过33，这样的数列最多有多少项？（2015年南京一中等五校联考题）

分析：由題意得

上述两例都与不等式有关，处理多元不等式问题常常选择一个变量为主元，再利用性质解题往往能事半功倍。

5 求多元函数最值

分析：变量较多且与整数有关，一般先排序，再用不等式放缩，使得变量减少，再选择主元求解。

上述三例如果不采用主元变更的思想则很难求解，若采用了该思想则问题变得较为简洁，而且思路一下子打开了。江苏的高考尤其重视思想方法的考查，特别在填空压轴题上必有一题是数学思想方法的考查，即思想方法想到了，问题马上就能解决，否则很难短时间找到其他解法。

新课程标准指出：数学的教学要掌握四基，其中数学思想是中学数学教学的重中之重，因为“题海无边，总结是岸”，题目随着高考的研究层出不穷，只有不断总结有限的数学思想方法才能以不变应万变，才能在高考中立于不败之地。

项目名称：2016-2019年度校级重点课改课题“本科生《数学思维训练》课程教学内容改革与研究”，课题编号：2016JGA05。

（作者单位：泰州学院数理学院）