■胡 磊

频率分布直方图属于一种重要的统计图表,在统计中具有广泛的应用。频率分布直方图是高考考查的重要知识点,下面对这类题型进行剖析。

一、明确频率分布直方图中的相关结论

1.求解频率分布直方图问题的关键是掌握频率分布直方图中的相等关系,其主要关系包括：(1)各小组的频数之和等于样本容量;(2)频率=;(3)各小组的频率之和等于1;(4)各小组的组距相等,即每个小长方形的宽都相等;(5)各小长方形的高=即小长方形的高与频率成正比,与频数也成正比;(6)各小长方形的面积等于各组的频率,小长方形面积之和等于频率之和,即为1。

2.利用频率分布直方图估计几种数据：在频率分布直方图中,众数是最高小长方形底边中点的横坐标所对应的数据,它表示样本数据的中心值;在频率分布直方图中,中位数是左右两边的小长方形的面积相等的底边的值;平均数等于各个小长方形的面积乘以对应的小长方形的底边中点的横坐标之和。

二、频率分布直方图经典题型剖析

1.频率分布直方图的相关计算。

例1统计某校学生的某次数学同步练习成绩(满分150分),根据成绩分成六组：[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],绘制的频率分布直方图如图1所示,若已知不低于140分的人数为110,则该校被统计的学生人数是( )。

图1

A.800 B.900

C.1200 D.1000

分析：由频率分布直方图可求出n=0.011,从而可得不低于140分的频率为0.011×10=0.11,由此求出该校被统计的学生人数。

解：由频率分布直方图可得10×(0.031+0.02+0.016×2+n+0.006)=1,解得n=0.011。因为不低于140分的频率为0.011×10=0.11,所以该校被统计的学生人数为应选D。

本题主要考查频率分布直方图的有关计算,考查同学们的计算求解能力。

例2港珠澳大桥于2018年10月正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55km,桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100km/h。现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查,画出了频率分布直方图(如图2)。根据频率分别直方图,估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)上的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为( )。

图2

A.300,0.25 B.300,0.35

C.60,0.25 D.60,0.35

分析：由频率分布直方图可求出在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)上的频率,从而求出在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)上的车辆数,再求出行驶速度超过90km/h的频率。

解：由频率分布直方图可得,在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)上的频率为0.06×5=0.3,所以在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)上的车辆数为0.3×1000=300,行驶速度超过90km/h的频率为(0.05+0.02)×5=0.35。应选B。

样本的频率分布直方图的画法步骤：计算数据极差xmax-xmin;决定组距和组数;决定分点;列频率分布表;画频率分布直方图。

2.利用频率分布直方图求平均数、中位数、众数。

例3某企业对其生产的一批产品进行检测,得出每件产品中某种物质含量(单位：g)的频率分布直方图,如图3所示,则该物质含量的众数和平均数分别为( )。

图3

A.83和84 B.83和85

C.85和84 D.85和85

分析：由频率分布直方图中最高小长方形可知众数落在第三小组,从而求出众数的值,再由每个小组的频率以及中间值求出平均数。

解：根据频率分布直方图可知众数落在第三小组,所以众数为

由含量在[60,70)内的频率为0.1,含量在[70,80)内的频率为0.2,含量在[80,90)内的频率为0.4,可得含量在[90,100)内的频率为0.3,所以该物质含量的的平均数为65×0.1+75×0.2+85×0.4+95×0.3=84。应选C。

本题主要考查频率分布直方图中众数和平均数的求法,考查运算求解能力。

例4在某次高中学科竞赛中,4000名考生的参赛成绩统计如图4所示,60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中点作代表,则下列说法中错误的是( )。

图4

A.成绩在[70,80]内的考生人数最多

B.不及格的考生人数为1000

C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5

D.考生竞赛成绩的中位数为75

分析：利用频率分布直方图即可判断四个选项的正确与否。

解：根据频率分布直方图可得,成绩在[70,80]内的频率最大,即考生人数最多,A正确。不及格的考生人数为10×(0.01+0.015)×4000=1000,B正确。根据频率分布直方图估计考试成绩的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,C正确。由前四组的频率大于0.5,前三组的频率等于0.45,可知中位数在第四组,可得考生竞赛成绩的中位数为错误。应选D。

在频率分布直方图中,众数是最高小长方形底边的中点所对应的数据,它表示样本数据的中心值;中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可以估计中位数的值,但有偏差;平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和,平均数是频率分布直方图的“重心”,它是频率分布直方图的“平衡点”。