(上饶师范学院 数学与计算机科学学院，江西 上饶 334001)

核心素养已成为教育界学者们关注的热点，它是“人人都应具备的适应社会和自身发展的关键素养”。在此大背景下，数学教育亦从“知识为本”阶段迈向了“数学核心素养”阶段。张奠宙认为“数学核心素养包含三大部分：数学思维方式、数学关键能力以及通过数学活动塑造人格养成”[1]。核心素养的提出给数学教育制定了长远目标，但如何实现目前尚无定论，如今是各抒己见。然而可以确定的是仅靠传统的“注入式”教学是难以达成的，教师只有更新教育观念、改革教学方法才能使发展学生核心素养的美好愿望落到实处。

“探究式教学让学生围绕一定的情境性材料，在教师的引领下以问题为起点，自主找寻探究路径、方法，直到问题解决”[2]。它的本质内涵与以核心素养为“风向标”的教学改革相契合。正如赵德成所说“探究式教学符合青少年成长特征和需求，对促进其核心素养培育具有重要的潜在价值”[3]。可见探究式教学是发展学生核心素养的一种行之有效的教学方式。反观目前国内中小学的数学课堂教学现状，有些教师穿着“落实学生核心素养”的新鞋，却走着“满堂灌虐我千百遍，我待满堂灌如初恋”的老路；有的教师打着“探究式教学”的旗号，但由于没有掌握“探究”的本质特征，未能准确把握好探究式教学的度，导致“伪探究”“乱探究”现象频频发生。鉴于此，笔者将对如何把握探究式教学的度进行探讨。

1 探究内容的适切度

目前国内学者关于探究式教学的研究成果颇多，有对探究式教学内涵、特征等理论层面的探讨，也有对探究式教学原则、模式、策略等实践层面的指导，但鲜有关注探究内容选取是否合理的研究，甚至有些教师认为只要是知识点都可以探究，也不思考这样的探究有没有必要，比如下面的真实教学片段可见一斑：

问题 能否将代数式a2-b2分解为两个整式的乘积形式呢？

(1) 令b=1,先探究a2-1的情形。若a=1,那么a2-1=1-1=0,0=0×0,结论不明确；若a=2,那么a2-1=4-1=3,3=1×3,结论仍不明确；若a=3,那么a2-1=9-1=8,而8=2×4=(3-1)×(3+1)，结论有点明朗；若a=4,那么a2-1=16-1=15,而15=3×5=(4-1)×(4+1)；若a=5,那么a2-1=25-1=24,而24=4×6=(5-1)×(5+1)，结论更加明朗。可以猜测:a2-1=(a-1)(a+1),并由此进一步猜测:a2-b2=(a-b)(a+b)。

(2)探究当b=2,3,4,5,6时,a2-b2=(a-b)(a+b)是否成立？

继续试验…(略)，综合以上各种情况,我们猜测a2-b2=(a-b)(a+b)是成立的。

(3)证明 按照多项式乘法法则 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn取m=a,n=-b，就可以得到 (a+b)(a-b)=a2-b2，而多项式乘法法则是可以逆用的，从而a2-b2=(a-b)(a+b)。

笔者认为该内容用以上探究式教学方式有失偏颇，因为按照每个版本的教材编排顺序，都是平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2在前，因式分解在后，由等式具有可逆性的本质特征就可得到a2-b2=(a-b)(a+b),相信学生都能够理解，没必要大费周张的进行探究。这种“花架子”探究耗时耗力，其实质是一种“无效”探究。

由此可见,并不是所有知识都适合作为探究式教学内容的，探究内容选择是否合适对探究式教学的顺利开展至关重要，这就要求教师把握好探究内容的适切度。度就是“把握分寸，恰到好处”[4]。探究内容的选取可把握以下几点：

1.1 探究内容选择应以教材为本

学生在观察的基础上猜想分组讨论后有学生提出异议：当四边形四边相等时猜想不成立。教师引导学生进一步讨论，修正猜想，经过多次合作探讨，不断修正后猜测：

最后学生运用正弦和余弦定理证明了该猜想是成立的。这就是著名的婆罗摩笈多公式。

1.2 探究内容选择应体现核心数学知识的形成过程

核心数学知识包括“基本原理、基本关系、基本方法和基本问题”[5]。它是提升学生数学思维、发展数学核心素养的基石。因此，在探究式教学中可选取核心数学概念或核心数学命题以及具有重要数学思想方法渗透的素材来作为探究内容，以帮助学生更深透地理解数学知识。例如三角形内角和定理、等腰三角形的性质、向量的概念、圆锥曲线等都是探究式教学的极好素材。

1.3 探究内容选择应把握难易度

探究内容的选择要符合学生原有的认知水平，应选择在教师的指导和同学合作交流中能够解决或能基本解决的问题。如果问题过易，学生仅凭已有的认知就能够解决的则不需要探究，如前所述的因式分解公式a2-b2=(a-b)(a+b)；如果问题过难，超出学生目前的能力水平，那么这个问题就不适宜选择。如在高中阶段要求学生从理论上探究证明函数的单调性判定定理是不切实际的，因为该定理的证明要依据微分中值定理，这是大学“数学分析”课程的内容。中学教师只能从导数的几何意义的视角来引导学生直观地探索导数与函数单调性的关系。也就是说探究内容应选择难易适中且在学生最近发展期内的知识点比较合适。

2 探究过程的扶放度

核心素养的提出呼吁学生改变被动的学习方式，提倡学生在学习过程中的自主、合作与探究。探究式教学包含两个要点：一是探究过程必须有教师的引导，给学生的探究道路排除障碍、指明方向；二是探究要以学生为主体，让其自主思考、探索，而不是被老师“牵着鼻子”走[6]。如何引导学生探究学习，又不越俎代庖？这就要求教师把握好“扶”与“放”的度，即“把握分寸，恰到好处”。

探究式教学有不同的类型，教师在其中扮演的角色、所承担的任务也不尽相同。有学者将探究式教学分成三种类型：定向型探究(初级水平)；指导型探究(中级水平)；开放型探究(高级水平)[7](见表1)。

表1 探究式教学类型与特征

由表1可知水平越低，其开放性就越低；反之，水平越高，其开放性就越高。学生探究能力的发展不是一蹴而就的，应历经由低级到高级的螺旋式上升过程。无论是哪种类型的探究教师都不能撒手不管、放任自流，对学生的引导必须有一个由“扶”到“放”的过程。究竟什么时候“扶”，什么时候“放”，这就要求教师对教学内容、目标、重难点熟练于心，成竹在胸；对学生的认知水平、学情了如指掌。一般来说，若探究的问题有一定的深度和难度，则应“扶一扶”，给学生多铺垫“脚手架”，设计较小的探究空间，把复杂的问题细化成一组有层次、有梯度的问题，以降低探究的难度；若探究问题比较简单，正好处于学生的最近发展期内，教师则可以给学生设计较大的探究空间，提供较少的“脚手架”或撤去“脚手架”，放手让其自主探究。例如教学完全平方公式、矩形的判定定理、椭圆的性质等内容时就可由学生自主合作探究，达到让他们“掂掂脚”能自己摘到果子的目的。

又如，目前高中数学教材纳入了部分有关微积分学的教学内容，学生对这些知识点的学习颇感困难，教师在教学时可采取“扶”着学生走的方式，进行诱导式、渐进式探究教学。比如牛顿—莱布尼兹公式的推导可作如下教学设计：

问题1 若把可导函数G(x)的导函数记为h(x)，G(x)在区间[a,b]上的“高差”记为G(b)-G(a)， 当我们把区间n等分后，G(x)在每个小区间的“高差”可以如何表示？

学生猜想：G(xi)-G(xi-1)

问题2 上述“小微元”G(xi)-G(xi-1)可以近似地表示成h(x)的有关形式吗？

学生猜想 ：G(xi)-G(xi-1)≈h(xi)Δx，其中Δx表示小区间的长度。

问题3 此时“高差”G(b)-G(a)可以近似地表示成怎样形式的和式？

问题4 如何能得到“高差”的精确值？

经过讨论得出当n趋于无穷大时，和式的极限就是“高差”的精确值，即：

以上的探究设计让学生在教师引导下逐步解决问题，使学生在探究中领会到微积分学中的重要数学思想方法，即“划分找近似、求和取极限”，为后续大学数学的学习奠定基础。

这样由浅入深、有梯度的展开问题的研究，可激发学生的学习兴趣，提升其数学核心素养。“扶”与“放”决定了探究教学的成与败。“放”于存疑质疑间，“扶”于能力尚未达到时[8]。

3 探究式与接受式教学的融合度

探究式教学面向全体学生，注重学生的情感，提倡其在充满开放民主的氛围中主动参与、积极思考、探索研究，体会知识生成的过程。然而任何一种教学形式都不是完美无缺的，探究式教学存在步骤多、操作繁及耗时长等不足，导致有些教师“望探兴叹”，仍然痴迷于“满堂灌”教学中不能自拔，造成“教者辛劳”“学者无趣”的被动局面。

事实上学生数学核心素养的培养是在知识不断积累中发展的，接受式教学可有效帮助学生积累知识，增加知识储备。探究式教学要以一定知识为基础，这些知识主要是通过接受式教学得到积累，探究的过程可以将接受式教学获得的知识加以深化。在实际教学中，二者之间并非水火不容，而是相互补充完善、交融渗透的。教师在教学中若能精心高效地进行教学设计、合理组织实施，把两种教学方式结合使用，形成优势互补，定可提高教和学的有效性，发挥出一加一大于二的效度。

如何在课堂教学中将探究式教学与接受式教学相融合，这也需要掌握好度，即“把握分寸，恰到好处”。我们认为在数学课堂教学中实施“微型探究教学”能有效地使两种教学方式完美结合。

微型探究其本质内涵与探究式教学一致，它是把探究式教学与接受式教学相整合的一种新型教学方式。“微型探究又称局部探究，它是课堂教学中教师针对某一个知识点引导学生在较短时间内开展的探究活动，时长大约不超过十五分钟，通常不需要经历发现问题、提出问题、猜想与假设、分析与推理、获得结论的完整探究环节，只需完成其中的一个或几个步骤，其它则以教师讲解来辅助”[9]。微型探究具有“短”(耗时短)、“小”(切口小，围绕某个特定的小问题探究)、“实”(探究可落到实处)、“活”(教学设计灵活)等特点[10]。这样的探究易操作、活动好开展、教师可调控。它将探究式与接受式教学有机结合，取长补短，致使探究式活动得以持续、深入地开展。

在实际教学时，教师可把探究活动当作日常教学中的一个环节，将探究内容经过细化，筛选成微型课题，使其穿插在课堂教学之中。这样不必花费较长时间单独实施，提高了探究活动的可操作性。值得注意的是在实施微型探究教学时亦必须把握好探究内容的适切度及探究过程的扶放度。

案例 椭圆的离心率教学片段[11]

问题1 我们刚才研究了椭圆的性质，那么椭圆形状有什么特征呢?

生：椭圆的圆扁程度不同。

问题2 椭圆的圆扁程度可以引入什么量来刻画呢？为什么可以用这个量？

问题3 还可用其它量来刻画吗？

师：借助几何画板演示一下，请仔细观察。

该案例对椭圆的离心率这一核心概念采用了微型探究方式，耗时大约十分钟。上述逐步递进的探究步骤，使学生对概念的形成过程有了深刻的体会，加深了他们对概念的理解,有助于学生探究能力培养及核心素养的生成。

4 结语

综上所述，探究式教学成败的关键取决于度的把握是否恰当。“度是事物发展的节点，它能使处于对立关系的个体保持相对平衡，把握适当的度是提高课堂教学质量的有效方式”[12]。教师把握好度，就不会偏激、不走极端，就能在教育教学中不断调控、修正自身的行为，就可使自己在教学改革的大潮中应对自如，游刃有余。