刘 菁，魏雪缘，刘 钊，徐瑞阳

(1.空军工程大学 信息与导航学院，陕西 西安710077； 2.中国人民解放军94582部队，河南 驻马店463000； 3.中国人民解放军95438部队，四川 眉山 620010)

0 引言

ITU对5G网络的关键技术指标进行了明确的定义，相对于4G网络，在峰值速率、连接密度及频谱效率方面都有几倍到几十倍的增强，同时还提出增强移动宽带、海量机器类通信和低时延、高可靠三大业务场景[1]。与前几代移动通信技术相比，5G不再是单纯地解决网络中的特异性问题，而强调整体的用户体验提升，接入网络的时延降低，以及海量设备连接的质量指标[2]。为实现这些新要求和新性能，很多新技术在上一代的基础上被应用于通信中，例如大规模天线技术[3]、波束成形技术[4]以及认知无线电技术[5]。在这些新技术中，认知无线电由于其优异的性能而受到广泛关注。为实现这一技术，信号处理，尤其是信号在时频域直接的转化尤其重要，因此时频域处理技术成为认知无线电技术中的一个重要方面。在诸多时频域处理技术中，小波包变换由于其良好的抗干扰特性，被广泛应用于各类通信系统中。王桁、吕智勇等人利用小波包变换优异的时频域局部分析能力，通过将子带功率比与最小功率阈值相结合，对卫星直接序列扩频通信中的干扰进行检测与抑制，以增强其抗干扰能力[6]。陈宜文、许斌等人根据OFDM 信号与其他单载波信号具有不同的小波包分解特性，解决了电力线通信中低信噪比下OFDM信号检测的问题[7]。文献[8]在小波包变换的基础上提出了一种根据频率选择的基于深层小波包多阈值去除干扰信号的方法，并将这种方法应用到超宽带系统中，来缓解超宽带系统中的窄带干扰。从上述文献可以看出，小波包变换多被应用于解决通信系统中的干扰抑制问题。但是小波包变换是在小波函数的基础上完成的，而经过一段时间的研究，各类小波函数已被大部分人所了解，因此当通信过程中存在窃听方时，在单纯采用小波包变换进行通信时发送的信号很容易被窃听方获取。

加权分数阶傅里叶变换(Weighted Fractional Fourier Transform，WFRFT)是物理层安全领域的一项新技术，最初由Shi.C.C在1995年提出[9]，由于其具有诸多优点，因此在近几年受到了较多关注。梅林最早将WFRFT应用于通信系统，并研究了WFRFT信号的特点及其抗截获性能[10]，文献[11-12]提出了WFRFT在物理层安全中的应用，并证明了其抗窃听和抗识别性能，WFRFT还与人工噪声技术和TDCS技术结合，从而达到恶化窃听方接收信号的目的[13]，文献[14]将加权类分数阶傅里叶变换处理后的信号与Logistic映射产生的混沌相位扰码结合应用于卫星通信中，提出了一种卫星混合载波混沌相位扰码安全传输方案。WFRFT还能作为一种预编码方案被应用于通信系统，能够在抑制窄带干扰和降低峰均比等方面优于原有系统[15-16]，文献[17]分析了在WFRFT预编码下广义频分复用(Generalized Frequency Division Multiplexing，GFDM)通信系统的误码性能，同时为解决参数单一的问题，多项WFRFT(M-WFRFT)[18]和多项多参WFRFT(MP-WFRFT)[19]被提出并应用到信息安全中取得了较好的效果。

从上述文献可以看出，同样作为时频域信号处理技术，小波包变换和加权分数阶傅里叶变换在性能上各有优劣，本文在对这2种技术进行介绍的基础上，通过仿真分析对比2种时频域信号处理技术的优势与劣势。

1 小波包变换和加权分数阶傅里叶变换概述

1.1 小波包变换

小波包变换是在小波变换的基础上提出了一种时频域变换，主要为了解决小波变换由于没有对同一尺度上的细节分量进一步分解，造成高频信息不能得到较好地处理这一问题，小波包是利用长度为2N的完全重构正交滤波器组h0和h1构造的，其函数由滤波器组递归定义，可表示为：

(1)

(2)

式中，n为非负整数，p0(x)和p1(x)为相应的尺度函数和小波函数[20]，pn(x)称为母函数，小波包函数具有以下特点：

① 小波包函数具有平移正交性，及对∀k,j有：

〈pn(x-k),pn(x-j)〉=δkj；

(3)

② 由同一生成元尺度函数产生的小波包函数p2n(x)和p2n+1(x)，对任意的整数k和j有：

〈p2n(x-k),p2n+1(x-j)〉=0。

(4)

(5)

因此∀j∈Z,j≠1有：

(6)

通过式(6)可以看出，小波包变换对空间Wj进行了更精细的划分，从而能够对信号的高频分量进行分析。分析过程就是小波包分解和重构的过程，其快速算法的迭代式为：

(7)

式中，fn为待分解信号，H和G分别为分解滤波器组，j=1,2,...,J,i=1,2,...,2j-1，J为最大小波包分解级数。

信号的小波包重构即为其分解的逆过程，是由各级分解系数逐级迭代，从而恢复出原始信号，可表示为：

(8)

1.2 加权分数阶傅里叶变换

加权分数阶傅里叶变换是在分数阶傅里叶变换的基础上发展而来，由于相对于分数阶傅里叶变换计算简便而被逐渐应用到通信领域[22-23]，其是由一系列变换基函数加权求和得到的，基函数均由待变换信号的傅里叶变换得到，对于任意一个信号，其傅里叶变换定义为：

(9)

根据傅里叶变换的性质可得：

(10)

因此，加权分数阶傅里叶变换可定义为：

Fα[f(x)]=ω0(α)f(x)+ω1(α)F(x)+
ω2(α)f(-x)+ω3(α)F(-x)，

(11)

式中，ωl(α)为加权分数阶傅里叶变换的系数，其表达式为：

(12)

该系数满足可加性，即

(13)

在此基础上，文献[24]通过研究将加权项数M由原来的4项扩展到了任意M≥3，即多项加权分数阶傅里叶变换，其系数和定义可以表示为：

(14)

M≥3，

(15)

在多项加权分数阶傅里叶变换的基础上，可通过对加权系数进行一般化处理进一步增加几圈变换的参数，从而强化其性能，由此可得到多项多参加权分数阶傅里叶变换，其变换系数和定义分别为：

(16)

(17)

式中，V=MV,NV为参数集合，MV=m0,m1,...,mM-1，NV=n0,n1,...,nM-1均为整数向量。

通过引入离散傅里叶变换以及定义置换矩阵P，加权分数阶傅里叶变换可以以离散的方式实现，从而更好地应用于数字系统中，置换矩阵P的各个元素定义为Pm,k=δmodm+k,N。根据4项加权分数阶傅里叶变换中各项之间的关系，加权分数阶傅里叶变换的离散实现形式为：

Fα[x]= (ω0(α)I+ω1(α)F+

ω2(α)PI+ω3(α)PF)x，

(18)

式中，x为待变换的信号向量，I为单位矩阵，F为离散傅里叶变换的矩阵，其定义为：

(19)

令

Wα=ω0(α)I+ω1(α)F+ω2(α)PI+ω3(α)PF；

(20)

则4项加权分数阶傅里叶变换的离散形式可以表示为：

Fα[x]=Wαx。

(21)

由于多项加权分数阶傅里叶变换和多项多参加权分数阶傅里叶变换是从4项加权分数阶傅里叶变换的基础上演变而来，因此其离散形式也可以通过4项加权分数阶傅里叶变换的离散形式得到，由式(14)～(17)可得，多项加权分数阶傅里叶变换和多项多参加权分数阶傅里叶变换可以表示为：

(22)

(23)

2 2种变换在变换域通信中的应用

小波包变换和加权分数阶傅里叶变换作为一种时频域的信号处理技术，可直接应用于通信信号的传输中，即将信号变换到不同的域之后进行发送，然后在接收端采用相应的方法恢复出原信号。同时，作为一种能对信号的域进行变换的信号处理方法，也可以应用于变换域通信中，变换域通信系统(Transform Domain Communication System,TDCS)是一种在认知无线电、扩频通信和变换域处理技术基础上发展出来的一种无线通信系统，具有良好的抗干扰和抗截获能力[25-26]。通过感知周围环境的频谱，变换域通信将其中占用的和存在干扰的频率通过幅度成形形成0和1组成的谱函数，然后将谱函数与本地生成的随机相位混合后形成本地基函数，使用基函数对信号进行调制后传输，调制的方法一般有双极性调制和循环相移键控调制等方式，在接收端，接收机通过同样的过程获得生成基函数对信号进行解调，传统的变换域通信在感知频谱和生成基函数时采用的是傅里叶变换，如果用小波包变换和加权分数阶傅里叶变换替代傅里叶变换，则会形成基于小波包变换或加权分数阶傅里叶变换的变换域通信系统，如图1所示。

图1 变换域通信系统

将小波包变换和加权分数阶傅里叶变换引入变换域通信，让变换域通信的可变换域有了更多的选择，使得变换域通信能够更加灵活，同时也增强了变换域通信的保密性。

3 2种变换在通信中的应用对比仿真分析

对小波包变换和加权分数阶傅里叶变换直接应用于通信中和应用于变换域通信中的性能通过蒙特卡洛方法进行仿真分析，通信信道设置为高斯白噪声信道，均值为0、方差为1，蒙特卡洛仿真次数设置为1 000次，小波包变换的层数设置为5层，不失一般性，加权分数阶傅里叶变换的阶数设为0.5，因为在这个阶数下其特性表现最为明显，为不至于太复杂，这里只对4项加权分数阶傅里叶变换进行仿真。

首先对小波包变换和加权分数阶傅里叶变换直接在应用于通信中的性能进行仿真，结果如图2所示。

图2 2种变换直接应用于通信的性能对比

从图中可知，由于小波包变换对信号进行高阶的分解，因此在面对高斯白噪声时，应用小波包变换进行的通信能够更好地消除噪声的干扰，相比于加权分数阶傅里叶变换，其在高斯白噪声信道下的误码性能更好，但是由于在信噪比较低时，对信号的分解会导致各个分量更容易受到噪声的影响，因此在信噪比<5 dB时，直接应用小波包变换进行通信要比应用加权分数阶傅里叶变换通信的性能要差。

对小波包变换和加权分数阶傅里叶变换在变换域通信中的应用进行对比分析，频谱环境分别设置为单音干扰、多音干扰和10%窄带干扰，仿真对比分别在调制方式为双极性键控调制和循环移位键控调制2种调制方式下进行，仿真结果如图3和图4所示。

图3 双极性键控调制下变换域通信系统性能对比

图4 循环移位键控调制下变换域通信系统性能对比

由图3可知，基于加权分数阶傅里叶变换的变换域通信在误码性能上要优于基于小波包变换的变换域通信，主要是由于在小波包变换在对信号进行分解的过程中，诸多分量之间存在一定的相关性，使得生成的基函数也存在一定的相关性，从而在解调的过程中误码性能受到影响，而从傅里叶变换发展而来的加权分数阶傅里叶变换则不存在这一问题，而且由于通过基函数避开了干扰频段，因此基于加权分数阶傅里叶变换的变换域通信系统的误码性能要略优于理论值。同时由图4可知，基于小波包变换的变换域通信抗多音干扰的能力要优于其他2种干扰方式，主要是由于在多音干扰环境下干扰出现在不同的位置，因此小波包变换生成的基函数相关性相比于其他2种干扰环境下要好。

最后对2种变换直接应用于通信中时的安全性能进行仿真，仿真假设存在一个窃听方且通过一定的方式了解到通信中应用了这2种变换，继而可知所应用的小波包函数，考虑到当前应用的小波包函数种类不多，这是符合实际情况的，但是不知道加权分数阶傅里叶变换的阶数，仿真结果如图5所示。

图5 直接应用2种变换进行通信时窃听方的性能对比

由图5可知，当直接应用加权分数阶傅里叶变换进行通信时，在窃听方所掌握的变换阶数有误差的情况下，其接收信号的误码性能基本上无法保证信号的正常接收，误码率都比较高，而在采用小波包变换进行通信时，窃听者一旦从应用较多的小波包函数中选择了正确的小波包函数，就能够接收到正确的信号，从而获取合法接收方的信息，使信息安全受到威胁。

4 结束语

通过对小波包变换和加权分数阶傅里叶变换的原理介绍和在不同应用场景下的应用对比分析，证明在直接应用于通信时，小波包变换相比于加权分数阶傅里叶变换抗高斯白噪声干扰的能力更强，但是在存在窃听方时，其安全性较弱；在应用于变换域通信时，加权分数阶傅里叶变换要优于小波包变换，同时对于小波包变换自身而言，其抗多音干扰的能力要优于抗单音干扰和10%窄带干扰的能力。由此可知，在相对简单的环境下可以利用小波包变换消除高斯白噪声的干扰，而在有窃听方等相对复杂的环境下，应用加权分数阶傅里叶变换及其与变换域通信技术的结合将会有更好的效果，从而为2种变换方式的选择提供了依据。