梁银　董永权　郭小荟

摘  要： 离散数学是软件工程专业的主干课程之一，为了满足离散数学在软件工程专业工程教育认证中的教学目标，针对离散数学课程教学中存在的问题，从教学内容、教学模式、教学方法、考核方式等方面进行了改革。教学实践表明，学生的学习兴趣，自学能力以及对知识点的理解和掌握程度都有很大的提高。

关键词： 离散数学; 工程教育认证; 教学改革; 教学模式; 软件工程

中图分类号：G642          文献标志码：A     文章编号：1006-8228（2019）12-91-04

Exploration on the teaching reform of discrete mathematics in engineering

education accreditation

Liang Yin， Dong Yongquan， Guo Xiaohui

（Department of Computer Science and Technology， Jiangsu Normal University， Xuzhou， Jiangsu 221116， China）

Abstract： Discrete mathematics is one of the main courses of software engineering specialty. In order to meet the teaching objectives of discrete mathematics in engineering education accreditation， the problems existing in the present discrete mathematics teaching are analyzed， and the teaching reform is carried out in four aspects， i.e. the design of teaching content， teaching mode， teaching method and assessment method. Teaching practice shows that students interest and self-learning ability have been greatly improved， and their understanding and grasp of knowledge points have been enhanced.

Key words： discrete mathematics; engineering education accreditation; teaching reform; teaching mode; software engineering

0 引言

在教育部高等學校教学指导委员会编写的《普通高等学校本科专业类教学质量国家标准》、以及美国计算机协会ACM和电子电气工程师学会计算机分会IEEE-CS联合制定的计算教材CC2013中，都将离散数学列为计算机类专业的一门核心课程。离散数学是数据结构与算法、数据库系统原理、人工智能、数字电路与逻辑设计、计算机网络、编译原理、算法设计与分析等计算机后续专业课程的重要基础，在计算机专业课程体系中起着重要的理论支撑作用[1]。同时，基于《中国工程教育认证标准2015版》规定的毕业基本要求，对于软件工程专业，离散数学是支撑毕业要求指标点的主干课程之一，在工程教育认证中，要达到以下两个教学目标。

目标1：了解集合、命题和一阶逻辑演算系统、关系、图、树，以及代数系统的基本概念，掌握从基本概念出发的计算和应用问题的求解方法。

目标2：掌握集合相关问题的证明与求解方法、命题和谓词逻辑相关问题的证明与求解、关系性质的判断及分析证明、某种特殊关系问题的求解、图的矩阵表达的求解、特殊图的判断、基于树的各种应用问题的求解、代数系统相关问题的求解。能够针对一个问题进行抽象分析，选择一种关系或形式逻辑模型进行抽象表达;通过严格数学证明的训练，使学生逐步习惯基于离散数学角度的思维方式，并初步掌握严格数学证明的基本规范，熟练掌握与上述学习内容相关的应用问题的求解及证明方法。

由于离散数学课程具有概念多、理论性强、逻辑性强、内容抽象程度高等特点，导致学生学习兴趣不高，教学效果不尽如人意，不能很好地满足以上两个教学目标。

1 存在问题

⑴ 内容多，课时少

我们采用的教材是屈婉玲等编著的离散数学（第三版）[2]，教学计划54学时，离散数学讲授课时安排如表1所示。

为了在较少的课时内完成较多的教学内容，通常有两种做法：一种是删减掉一些内容，但是这样很难让学生形成离散数学这门课完整的课程体系;另一种是像蜻蜓点水一样，所有内容都提及一点，但不深入讲解，这是不利于培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

⑵ 学习目标不明确，缺乏学习兴趣

在以往的教学中，教师更注重知识点的讲授，缺乏从专业课程的角度讲授离散数学与后续专业课程之间的关系，致使学生不能体会到学习这门课程的重要性，误认为这只是一门纯粹的数学课，与计算机专业没有什么关系，难以引起学生的学习兴趣。

⑶ 作业完成质量不高，存在抄作业现象

布置课后作业是为了让学生复习巩固已讲授的知识，但有的学生敷衍了事;有的学生遇到不会做的题要么不做，要么直接抄其他同学的答案;甚至有少数学生的作业是完全抄袭别人的。作业完成的质量不高，没有达到布置作业的目的。

⑷ 课程考核难以满足工程教育认证要求

以往期末试卷中考察学生对基本概念的记忆和理解的题目占试卷总分的70%左右，而考查应用分析能力的题目较少，课程考试不能很好地反映工程教育认证中课程教学目标的要求。

2 教学改革

2.1 采用“线上+线下”混合式教学模式

为了满足离散数学在工程教育认证中的两个教学目标，针对教学内容多与讲授课时少的矛盾，采用“设计问题-观看视频-解决问题-抽查效果”教学方法，把每一章节的教学内容进行拆分，学生容易掌握的概念和知识点让学生课下观看视频自学;上课的主要讲解定理的推导证明、知识点之间的关系、本课程与后续课程之间的联系，着重培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和计算思维。各个章节内容分解如表2所示。

课程组的老师已经录制了34个单元的微课视频，这些视频包含了学生自学的部分，以及重点、难点内容。根据教学大纲要求，教师提前一周布置自学任务，针对自学内容，设计几个问题，同时把问题、视频、课件在自主开发的教学网站上向学生发布;学生在规定的期限内完成自学任务，并提交问题答案。在学习过程中，学生如果遇到问题，可以在线与教师互动。每次完成自学任务后，教师随机抽查几个学生，把他们集中在一起进行测试，检查自学效果，确保每个学生至少被抽到两次。实际教学表明，采用这种方法不仅很好地应对了内容多、课时少的问题，而且提高了学生的自学能力。

2.2 改革课堂教学方法

基于离散数学在工程教育认证中的两个教学目标，为了培养学生分析问题、解决问题的能力，在教学过程中采用多种教学方法，充分调动学生的学习积极性和求知欲，提高学生的学习兴趣。

在教学中采用案例驱动与启发式相结合的教学方法，首先讲解案例的背景和需要解决的问题，然后启发学生将问题进行抽象，利用离散数学理论知识把问题符号化，再进一步引导学生思考求解问题的过程[3]。例如，在讲解欧拉图时，以数学家管梅谷提出的中国邮政问题作为案例，让学生在理解问题描述的基础上，启发学生把街道抽象为边，把邮局和街道间的交叉路口抽象为顶点，每条边赋予一个权值表示街道的长度，这样得到的带权连通图就是要求解问题的数学模型;然后引导学生分析如何利用欧拉图的知识求解问题，最终构造出解决问题的算法步骤[4]。通过讲解应用实例转化成能够在计算机中求解的过程，不仅能够培养学生的计算思维能力和应用能力，而且能让学生体会到这门课程的实用性，从而提高学生的学习积极性。

在教学过程中，不仅只讲授离散数学课程的基本内容，而且结合计算机专业的后续课程，深入讲解每一部分内容与后续课程的关联性。例如，在讲解命题逻辑时，与数字电路与逻辑设计课程相结合，以抢答器的设计为例，讲解真值表和主析取范式在逻辑电路设计中的应用。在讲解一阶逻辑时，以学生-选课数据库为例，讲解量词在数据库的关系演算中的应用。在讲解集合论时，仍以学生-选课数据库为例，讲解集合的交、并、补、差和笛卡尔积等运算在关系数据库查询中的应用。在讲解等价关系时，与软件工程课程相结合，以一个简单的用户登录程序的测试为例，讲解等价类划分在软件测试用例设计中的应用。在讲解图论时，与计算机网络课程相结合，以网络线路的铺设为例，讲解图在网络设计中的应用;同时与数据结构与算法课程相结合，以工程造价为例，讲解邻接矩阵在图的存储结构中的应用，以及求最小生成树的克鲁斯卡尔算法。在讲解代数系统时，与信息安全课程相结合，以数据加密为例，讲解置换群在密钥交换中的应用[5]。通过引入后续课程中的应用实例，让学生体会到离散数学课程的重要性，从而激发学生的学习兴趣。

2.3 改革作业评判方式

为了满足离散数学在工程教育认证中的两个教学目标，给学生布置的作业以解答题和证明题为主。为避免学生抄袭作业，每次完成作业后，设计几道难度、类型与作业接近的题目测试学生作业的掌握情况。在课堂上使用清华大学开发的雨课堂作为教学工具，把题目限时发送给学生，学生把答案写在纸上，然后拍照以图片的形式提交答案，把最快做完的前5名学生的名字显示在大屏上，提出表扬，以此激励学生学习的积极性。为了在有限的时间内独立完成课堂测试题目，学生平时做作业时不仅要能在看书的情况下独立完成作业，而且还要达到熟练的程度。刚开始时，学生完成情况不理想，但经过几次训练后，效果逐渐好转。学生反映不敢再抄作业，在做作业过程中，如果遇到不会的题目，会首先看课件、视频学习知识点，再看相应的实例，直到把知识弄懂、弄透，能够解决作业中存在的问题。学生把每次作业都看作是一次考试前的复习，为了课堂测试能取得好成绩，都会认真对待每一次作业，不再敷衍了事。

这种做法充分调动了学生自主学习的积极性，不仅能很好地杜绝学生抄作业的现象，而且能够督促学生及时复习学过的内容，牢固掌握所学的知识，避免了在前面知识没有掌握或掌握不好的情况下学习新知识，造成学不会、跟不上，从而产生厌学的情绪。另外，由于离散数学每一部分中的知识是紧密相连的，比如在关系中，先讲解关系的基本概念，然后讲关系的性质，最后讲具有某些性质的几种特殊关系，这些内容是一环扣一环的，通过作业练习，学生能扎实的掌握每一环节的内容，教师在讲授新课时不需要再不断的复习旧课，能有更多的时间深入讲解新课内容，提高了教学效率。

2.4 改革考核方式

为了达到离散数学在工程教育认证中的两个教学目标，着重培养学生的应用、分析、和创新能力，在期末试卷中删除了用于考察学生对基本概念记忆和理解的选择题、填空题、判断题之类的题目，以解答题和证明题为主。

以往的考核成绩由两部分组成：平时成绩（包括作业和课堂表现）占30%，期末考试（闭卷笔试）占70%。现在加大了平时的考核力度，作业占50%，自学测试占10%，期末考试仅占40%。其中每次作业占5分，包含作业本上的完成情况和课堂上的作业测试情况，作业本上的成绩占30%，课堂测试占70%，共十次作业;自学测试取前两次最好的成绩。

考核方式的改变，促使学生更注重平时的学习，更注重知识的应用与创新，不再为了应付考试，突击死记硬背知识点。通过学习这门课程，使学生分析问题、解决问题的能力得到了很大提升。

3 结束语

为了达到离散数学在工程教育认证中的两个教学目标，在教学过程中，把教学内容分解，采用混合式教学模式，把部分易于理解的内容留给学生课后线上自学，课堂上主要讲解定理的推导证明、本课程与后续课程之间的联系，以及如何利用离散数学知识解决实际问题的分析求解过程，并采用案例驱动与启发式相结合的教学方法，激发学生的求知欲和学习兴趣。同时，考核方式的改革加大了平时学习效果的考核力度，更注重培养学生的自学能力、逻辑思维能力、应用知识的能力和创新能力。通过教学改革，虽然取得了一些成效，但还需要持续改进，围绕以学生为中心的核心理念，不断探索新的教学模式，进一步提高教学质量。

参考文献（References）：

[1] 杨思春.离散数学课程教学改革与实践[J].计算机教育，2018.6：83-85

[2] 屈婉玲，耿素云，张立昂，等.离散数学（第3版）[M].北京：清华大学出版社，2014.

[3] 张艳，刘亚.离散数学课程教学新思考[J].计算机时代，2016.5：89-91

[4] 张赛男，张婷婷，劉艳云，等.基于模型构建与应用能力培养的离散数学教学研究[J].计算机教育，2017.12：73-75

[5] 张剑妹，李艳玲，吴海霞.结合计算机应用的离散数学教学研究[J].数学学习与研究，2014.1：2-4