蒋瑞祥

（安徽省合肥市新华学院国际教育学院，安徽 合肥 230088）

一、线性代数

（一）线性代数的定理

作为特殊的数学课程，线性代数主要对向量、线性空间、有限维线性方程组及线性变换等内容进行分析。作为关键学习内容，线性代数在泛函分析、抽象代数中占据着重要位置，在表达过程中需要借助几何解析的方式。算子理论就涵盖了线性代数原理，在研究线性模型一般都是以非线性模型为例，在社会、自然学科领域可以大规模应用线性代数。

基于线性代数下，线性空间、基独立对应。若非零矩阵A的行列均为n，假定B矩阵存在AB = BA =E，其中单位矩阵表示为E，那么可逆矩阵即为A，A逆阵就是B[1]。可逆矩阵仅在行列式≠0的情况下，象征线性变化为自同构。半正定矩阵只有各特征值≥0，正定矩阵只有各特征值＞0。借助Gramer法则能够对线性方程组进行求解。

（二）线性方程组解的结构

解的判断包括：

齐次线性方程组Ax=0有非零解＜=＞r(A)＜n.(或|A|=0，A为方阵)；

非齐次线性方程组Ax=b有唯一解r(A)=r(A,b)=n；

非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解r(A)=r(A,b)＜n；

非齐次线性方程组Ax=b无解r(A)?r(A,b)

通过由解的情况判断矩阵中参数的取值范围。P95 3 P99 例4.7 P101 3. 4.确立齐次线性方程组:

所有解向量构成向量空间。

基础解系的维数：n-r（A）；

基础解系的求法：

1、系数矩阵通过初等行变换化为行最简形

2、非零首元所在列对应的是非自由变量，其余为自由变量。

3、令自由变量取一组线性无关的值。(通常取单位向量组。)

4、计算其他变量的值。从而确定基础解系。

非齐次线性方程组：

通解可以通过对应的齐次线性方程组的通解和非齐次线性方程组的一个特解来表示。

二、多项式的运算

作为特殊的数学表达式，多项式涵盖了系数、变量和系数运算等内容，其中系数运算包括幂运算、加减和乘。针对多项式的界定，可以看作是单个、零个单项式之和，所以整式也算是多项式。然而定理无法仅限于狭义多项式，而不适用单项式。如果多项式包括零，那么负无穷就是次数定义。因此，整式包括了多项式、单项式，其中常数项指的是多项式内无字母的项。

多项式在运算过程中需要遵守下列几个规则：

首先是加法和乘法

多项式是有限单项式的总和，所涵盖的单项式类型有所差异，多项式的次数由单项式（系数≠0）最高次数决定。

将相同类型多项式系数进行加和的过程就是多项式加法，要求不改变字母；而乘法则为将多项式内各单项式同其他多项式各单项式进行乘法运算，并进行同类项的合并[2]。

含单位元素的整环为多项式乘法、加法所形成的环，例如F中多项式x1，x2，…，xn全部集合Fx{1,x2，…,xn}。

因式分解唯一性定理适用于存在于域下的多元多项式。

其次是带余除法。

F[x]下多项式为g(x)、f(x)，且g(x)≠0，F[x]内r(x)、q(x)唯一，符合ƒ(x)=q(x)g(x)+r(x)，g(x)次数＞r(x)。g(x)÷ƒ(x)的商式就是q(x) ，而余式是r(x)。若g(x)=x-α，余元就是r(x)=ƒ(α)，F下元素为α。这种情况下的ƒ(x)=q(x)(x-α)+ƒ(α)是带余除法的基本形式，也叫作余元定理。g(x)÷ƒ(x)余式=0,作为ƒ(x)因式=g(x)成立的充分必要条件。若ƒ(x)因式为g(x)，则ƒ(x)可以被g(x)整除。ƒ(α)为零是ƒ(x)因式为x-α成立的充分必要条件，则ƒ(x)根即为α。

若ƒ(x)、g(x)二者的共同因式为d(x)，则g(x)、ƒ(x)公因式就是d(x)。若g(x)、ƒ(x)的公因式为d(x)，同时g(x)、ƒ(x)二者随机因式均为d(x)的因式，则g(x)、ƒ(x)最大公因式即为d(x)。若ƒ(x)为零，则g(x)、ƒ(x)最大公因式就是g(x)。g(x)、ƒ(x)均≠0的情况下，在进行最大公因式运算时就需要借助辗转相除法。

最后是辗转相除法

若F[x]为一元多项式环，所含g(x)、ƒ(x)两大多项式均≠0，r1(x)和q1(x)分别是g(x)÷ƒ(x)的余式及商式。假设r1(x)为零，g(x)、ƒ(x)最大公因式就是g(x)。假设r1(x)不为零，r2(x)和q2(x)分别是 r1(x)÷g(x)的余式及商式。假设r2(x)不为零，g(x)、ƒ(x)最大公因式为r1。

反之需要重复进行上述除法运算，会逐渐降低余式次数，结束有限s次，则存在零多项式或者零次多项式。如果零次多项式是最终余式结果，那么g(x)、ƒ(x)互素；如果零多项式是最终余式结果，那么g(x)、ƒ(x)最大公因式为末次带余除法的除式。

借助辗转相除法，对于rs(x)这一g(x)、ƒ(x)最大公因式，能够通过g(x)、ƒ(x)组合方式进行表示，F中多项式为组合系数[3]。

若g(x)、ƒ(x)最大公因式为零次多项式，则g(x)、ƒ(x)互素。一些多项式广泛适用互素、最大公因式原理。

若多项式ƒ(x)存在于F[x]内，且起次数≥1，就无法通过 F[x]下低次数多项式乘积进行表示，则F中不可约多项式就是ƒ(x)。

随机多项式均能够进行分解，得到不可约多项式的乘积。

形如 Pn(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(1)x+a(0)的函数，称之为多项式函数，运算过程中需要自变量x、常数在有限次数内进行相加和相乘。显然，当n=1时，其为一次函数y=kx+b，当n=2时，其为二次函数y=ax^2+bx+c。