钱坤 镡锐霞

摘要：本文在最优化理论框架下对一类二阶抛物型方程的源项系数进行了反演。首先证明了最优控制问题控制泛函极小元的存在性，进而得到了最优解所满足的必要条件，最后讨论了最优解的全局唯一性和稳定性。

Abstract： In this paper， the source term coefficient of a class of second-order parabolic equation is inversed under the optimal control framework. First， the existence for the minimizer of the control functional is proved. Then the necessary condition for the minimizer of the control functional is discussed. Finally， the global uniqueness and stability of the optimal solution are proved.

关键词：抛物型方程;反问题;必要条件;唯一性

Key words： parabolic equation;inverse problem;necessary condition;uniqueness

中图分类号：O175.2                                      文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2019）34-0200-03

0  引言

近年来，数学物理反问题已成为应用数学领域迅速发展的一门理论，尤其在医疗、勘探、图像处理、金融等领域当中的应用更加的突出。金融领域中的期权定价问题是反问题应用的重要体现，运用著名的Black-Scholes定价模型，借助于从期权市获得的观测数据，去重构原生资产价格的波动率。除此之外，典型的对流-扩散方程在环境污染中的地位不言而喻，它可以用来描述水体和大气中污染物的输移、扩散和降解，海水盐度和温度的扩散、流体的流动和传热等等。

与相应的正问题相比，反问题的处理更加的困难，关键在于其严重的不适定性[1-4]，因为在许多实际问题的处理当中，大量的数据都是通过外界手段测量得到，必然会存在误差，也正是因为这些微小的误差，问题的不适定性将会导致问题解的无限放大而失真，从而失去研究价值。如何处理这种不适定性也成为许多学者研究的重要课题。

对反问题不适定性的处理，目前主要的方法是Tikhonov正则化方法[5-7]，但Tikhonov正则化方法对问题的解要求要有较强的先验光滑性条件，由此得到的稳定解的同时，也会导致原问题解的过度光滑，因此，Tikhonov正则化方法并不是最优的。……