赵军亚 李晨旭 马晓栋†

1) (新疆师范大学物理与电子工程学院，乌鲁木齐 830054)

2) (新疆医科大学医学工程技术学院，乌鲁木齐 830011)

应用哈特里-福克-博戈留波夫平均场理论近似和基于托马斯-费米近似的解析方法,研究碟形玻色-爱因斯坦凝聚体中(0,0,2)剪刀模的朗道阻尼和频移,计算阻尼系数和频移大小以及它们的温度依赖.计算中,在集体激发本征频移微扰关系中考虑元激发弛豫及其弛豫之间的正交关系以获得阻尼和频移的计算公式,把凝聚体基态波函数取为高斯分布函数的一级近似以消除托马斯-费米近似中三模耦合矩阵元的发散.采用与相关实验研究相同的粒子数、囚禁频率和各向异性参量,理论计算结果与相关实验测量结果相符合.由于理论的复杂性和计算的困难性,在大多数基于平均场理论的单分量和两分量玻色-爱因斯坦凝聚集体激发阻尼和频移的研究中采用半经典近似,把准粒子激发能谱看成是连续的来积分计算各个准粒子跃迁对阻尼和频移的贡献,而本文和本文前期工作按分立的准粒子激发频谱计算阻尼或频移,并在研究过程中提出了考虑元激发弛豫及弛豫之间正交关系的改进方法,希望这种方法对今后的工作有一定参考价值.

1 引 言

玻色-爱因斯坦凝聚(Bose-Einstein-condensation,BEC)的集体激发作为一个基本问题对于多体问题的研究显然是至关重要的.元激发是统计与凝聚态物理学的基本研究内容之一,集体激发的研究是捕陷玻色凝聚气体的实验和理论研究活动的主要兴趣领域之一[1-23].研究集体激发对于了解凝聚体的基态、热力学性质及其超流特性都有十分重要的意义,阻尼和频移是BEC中集体激发的主要特征,其中有四个实验[24-27]对BEC系统中激发模阻尼和频移有完整的温度依赖测量.粒子间相互作用导致集体激发振幅的衰减(阻尼)和频率的改变(频移).阻尼和频移的机制有朗道(Landau)和巴利耶夫(Beliaev)两种,朗道机制是一个准粒子激发吸收一个集体激发变为另一个准粒子激发,巴利耶夫机制是一个集体激发变为两个准粒子激发.其中巴利耶夫机制在能级分立的系统中对低能量集体激发阻尼和频移的贡献很小.

对于BEC动力学的研究方法主要有高温高密度下的二流体理论方法[28-31]和低温低密度下的平均场理论方法[32-48].其中大多数实验研究的是低温低密度系统.

平均场理论框架下理论工作具体的探究方法也不尽相同,有文献[32-35]的微扰理论、文献[36,37]的格林函数方法、文献[38]的二阶量子场理论和文献[39-44]的哈特里-福克-博戈留波夫(Hartree-Fock-Bogoliubov,HFB)理论.文献[34-40]都聚焦于对实验[27]中集体模阻尼和频移温度依赖的理论解释.这些工作都有一个共同点,在求和计算各个准粒子跃迁对集体激发阻尼和频移的贡献时,都采用了半经典近似,即把准粒子激发能谱看成是连续的而进行积分运算.与文献[34-40]不同,文献按分立的准粒子激发频谱来求和计算朗道阻尼或频移.其中文献[41-44]是本文的前期工作,文献[41]应用的方法与文献[32]相同,而文献[42-44]则在文献[32,33]方法的基础上进行了发展和改进.

文献[32]在文献[34]的频率微扰理论公式中考虑元激发的弛豫而引入洛伦兹宽度 Δ,得到计算集体激发朗道阻尼的公式

文献[32]计算阻尼的公式中含有洛伦兹宽度,应用公式计算时,不考虑阻尼强度大的准粒子共振跃迁、只考虑一部分阻尼强度小的准粒子背景跃迁对阻尼的贡献,在阻尼 γ随洛伦兹宽度 Δ的缓变范围内取阻尼的计算值.由于在某些系统中不出现阻尼随洛伦兹宽度缓变的情况,文献[33]把文献[32]阻尼公式中的洛伦兹半宽认定为集体激发的阻尼

用迭代的方法计算朗道阻尼.文献[32,33]有一个共同点,它们在考虑元激发的实际弛豫时,把三个元激发(朗道机制中相互耦合的一个集体激发和两个准粒子激发)的弛豫简单地加在一起,把 Δ/2 看作是加在一起的结果.另外,阻尼和频移是相伴的物理现象,但文献[32]只计算了阻尼,而文献[33]虽然阻尼和频移都计算了,但在其计算中对阻尼和频移的物理考虑有比较大的差别.

与文献[33]相同,文献[42-44]也把洛伦兹半宽认定为集体激发的阻尼,也用迭代的方法计算阻尼.但与文献[32,33]不同,文献[42-44]在考虑三个元激发的弛豫时,还考虑了三个元激发弛豫的正交关系,理由是三个元激发的本征函数是正交的.应用文献[42-44]提出的考虑元激发弛豫及其各弛豫间正交关系的方法,不仅给出了阻尼的计算公式,而且同时给出了频移的计算公式,先用迭代的方法计算出阻尼,再根据阻尼的计算结果计算频移,分别得到了与实验相符或与相近实验对比合理的理论计算结果.这些问题将在2.3节详细说明.

总体上看,BEC中集体激发阻尼和频移的理论研究开展不足.如前所述文献[34-40]采用处理连续本征值元激发谱的半经典近似方法,与实验[24-27]中本征值分立的轴对称系统有很大的差别.迄今为止,只有几个关于两分量玻色-爱因斯坦凝聚(twocomponent Bose-Einstein condensations,2BECs)集体激发阻尼和频移的理论研究[45-48],它们都是采用HFB平均场理论,也都采用了半经典近似.由于问题的复杂性,计算球对称和轴对称系统中集体激发的阻尼和频移,首先要计算大量分立的元激发本征函数和本征值,数值模拟工作相当困难,目前只有文献[32]这一个数值模拟工作,而且研究的是较为简单的球对称系统.这是理论工作开展不足的一个原因,但这不是主要原因.其主要原因是文献[32-41,45-48]在考虑元激发的弛豫时,把三个元激发的弛豫简单地相加在一起,这是值得商榷的.因为如前所述三个元激发的本征函数是正交的,例如在HFB平均场理论中,元激发本征函数和本征频率是通过对角化系统巨正则哈密顿得到的.

需要说明一点,文献[41-44]是解析研究工作,在阻尼或频移的计算中,分别应用了文献[22,23]的球对称和轴对称BEC元激发分立的本征函数和本征函数解析解,而这种解析方法是在HFB平均场理论[39,40]框架下,忽略正常和反常准粒子平衡密度,并通过改进托马斯-费米近似(Thomas-Fermi approximation,TFA)得到的.这个问题将在2.4节详细说明.

本文研究蝶形BEC中剪刀模的朗道阻尼和频移,计算中采用文献[27]实验的系统参量,理论计算结果与实验的测量数据相对比,进一步检验文献[42-44]提出的考虑元激发弛豫及其正交关系的方法,并进行更详细的说明,希望这种方法能够得到推广和发展,对研究BEC和2BECs中集体激发阻尼和频移的工作开展有一定的参考价值.

2 关于BEC中集体激发朗道阻尼和频移的HFB平均场理论

采用基于HFB平均场理论的博戈留波夫-德热纳(Bogoliubov-de Gennes,BdG)方程组本征函数集[22,23]和集体激发本征频率微扰关系[39,40],分别在2.1节和2.2节简要介绍.

采用文献[42-44]在集体激发本征频率微扰关系中考虑元激发弛豫及弛豫间正交关系而获得的阻尼和频移计算公式,在2.3节详细讨论.

采用文献[42-44]在凝聚体基态波函数引入参量 q =1 以消除TFA三模耦合矩阵元发散的方法,在2.4节详细讨论.

2.1 BdG方程的本征函数集

其中H0=-ℏ2∇2/(2m)+Vext(r)-μ,μ是系统化学势、耦合常数 g =4πℏ2asc/m ,asc是s波散射长度.玻色场算符 ψ(r,t) 的运动方程为

利用上述分解和近似,可以得到凝聚部分波函数满足的方程

采用博戈留波夫变换

其中算子 L=H0+2gn0.

由(3)式还可得到描述凝聚激发部分的运动方程

(7)式改进的托马斯-费米近似(beyond Thomas-Fermi-approximation,bTFA)解为

(8)式元激发本征函数的bTFA解为

其中

以上各式中的q 是为了消除TFA三模耦合矩阵元的发散而引入的参量,将在2.4节说明.

2.2 集体模本征频率微扰关系及其阻尼强度和三模耦合矩阵元表达式

其中

2.3 集体激发朗道阻尼和频移的计算公式

本节介绍本文前期工作[42-44]提出的考虑元激发弛豫及其正交关系的方法,并进行更为详细的说明.

在文献[32—48]中,都有集体激发频率扰动公式

以下依次考虑三个元激发的弛豫.在计算集体激发的阻尼和频移时,朗道机制的正向和反向跃迁都需要考虑,所谓元激发的弛豫就是指元激发的衰减或增益,在正(反)向跃迁中,集体激发和准粒子激发是衰减(增益)的,准粒子是增益(衰减)的,而增益和衰减分别对应于元激发振幅随时间变化因子中的正负号.

此时如果考虑频移,则不考虑弛豫,所以可以令(19)式的虚部为零得到

同时得到

和

以及计算集体模频移的公式

考虑元激发的弛豫,弛豫使元激发能级产生宽度,从而使跃迁的失谐增大.把替换为相当于修改失谐,修改后的失谐比原来的失谐大,跃迁对阻尼和频移的贡献减小.

每考虑一个元激发的弛豫,都使失谐增大、阻尼和频移减小,考虑三个元激发的弛豫,最终结果使失谐更大、阻尼和频移更小.

阻尼和频移的计算公式都是在集体激发的本征频率微扰关系(15)式中考虑元激发的弛豫及弛豫之间正交关系得到的,而(15)式实际上就是不考虑任何元激发弛豫的频移公式.在文献[42—44]的研究中发现这样一个规律,即如果直接用(15)式计算集体激发的频移,理论结果比实验结果大约大三个数量级,如果依次用考虑一个、两个、三个元激发弛豫及其正交关系的频移公式(21)式、(23)式、(25)式计算,理论结果依次大约减小一个数量级,最后理论结果与实验结果相符.阻尼的计算结果与上述考虑弛豫及其弛豫之间正交关系的依赖规律相类似.

文献[42,43]分别研究雪茄形BEC中单极子模和蝶形BEC中四极子模的朗道阻尼和频移,分别采用文献[26]和文献[27]实验的系统参量,理论计算结果分别与文献[26]和文献[27]实验的测量数据相符.

文献[32]和文献[44]研究的是系统参量完全相同的球对称BEC,都计算了单极子的朗道阻尼.文献[44]考虑了所有贡献大的准粒子跃迁,计算结果比轴对称系统的实验结果[24-27]小而合理,这是因为球对称系统的能级比轴对称的稀疏,失谐小的准粒子跃迁比较少.而文献[32]如前所述只考虑一部分准粒子跃迁,计算结果却比轴对称系统的实验结果大,这是因为文献[32]在考虑元激发的弛豫时,直接把三个元激发弛豫简单地加了起来而没有考虑弛豫之间的正交关系.

2.4 q 值的确定

囚禁势中BEC基态波函数一般应该取高斯分布函数(谐振子基态波函数)形式但把它代入BdG方程(8)式得不到元激发本征函数集的解析解.

文献[42—44]取 q =1 ,以下从两个方面说明其中的原因.

一方面,取 q =1 ,bTFA基态波函数(9)式为谐振子基态波函数(高斯分布函数)的一阶近似形式当即越靠近BEC中心,基态波函数越接近高斯分布函数,囚禁势中BEC粒子保留着一定的谐振子特征.

因为TFA元激发本征值的理论计算值接近于实验值,采用TFA的元激发本征值.因为TFA的元激发本征函数会导致三模耦合矩阵元的发散,采用bTFA的元激发本征函数.

如前所述,文献[44]与文献[32]均研究系统参量完全相同的球对称BEC.文献[44]还进行了另一种计算,也用上述解析方法,但在考虑元激发的弛豫上与文献[32]方法相同,即在本征频率微扰关系(15)式中引入洛伦兹宽度,也只考虑一部分阻尼强度小的准粒子背景跃迁对阻尼的贡献,在阻尼随洛伦兹宽度的缓变范围内取阻尼的计算值,阻尼的解析计算结果与文献[32]的数值模拟计算结果相符合.通过这样一个计算对取 q =1 进行了验证.

3 计算及结果

考虑频率为 ωho=810 Hz,各向异性参数Λ=2.83的谐振囚禁势中原子数 N=6000 的碟形87Rb原子气体(asc=5.82× 10-9m).研究的集体模是剪刀模 (nz,ns,m)=(0, 0, 2) ,其频率 ω0=1.414 (以 ωho为单位),其集体模的博戈留波夫振幅以上集体模和所有参量的选取均与实验[27]相同.BEC相变临界温度为 Tc=4.5(ωho/200π)(λN)1/3nK =149.2nK[1].

3.1 阻尼强度

阻尼强度采用(16)式和(17)式计算.在图1和图2及其插图中,给出了各个准粒子跃迁ωij(ωij=ωj-ωi,以 ωh0为单位)的阻尼强度 γij(以为单位).这些准粒子跃迁服从剪刀模选择条件mi-mj=2(其中 mi和 mj分别是准粒子 ωi和ωj的方位角量子数).图1和图2及其插图中的箭头指向集体模的频率 ωo,竖线的位置对应允许的跃迁频率 ωij,其高度给出 γij的计算值.

图1 以跃迁频率 γij为变量的剪刀模阻尼强度 ωij函数线状图Fig.1.Histogram of damping strength γij as a function of the transition ωij for the scissors mode in the condensate.

图2 以跃迁频率 γij为变量的剪刀模阻尼强度 ωij函数线状图 (ωij/ωho取值范围为0—1.6)Fig.2.Histogram of damping strength γij as a function of the transition ωij for the scissors mode in the condensate,(ωij/ωho= 1—1.6).

图1和其插图中的跃迁频率分别满足- 0.6ωho＜ωij＜ 3.4ωho和 1.21ωho＜ωij＜ 1.61ωho,图2和其插图中的跃迁频率分别满足1.21ωho＜ωij＜ 1.61ωho和 1.396ωho＜ωij＜ 1.432ωho.

由阻尼强度计算公式(16)式可以看出,当跃迁频率 ωij＜ 0 (即 ωj＜ωi) 时,阻尼强度 γij＜ 0；当跃迁频率 ωij=0 (即 ωj=ωi) 时,阻尼强度 γij=0；当跃迁频率 ωij＞ 0 (即 ωj＞ωi) 时,阻尼强度γij＞ 0.

能级量子数大的准粒子本征函数振荡很快且极大值远离凝聚中心,另外量子数大能级能量高,其玻色布居因子 fi0小,因此量子数大能级之间跃迁的三模耦合矩阵元小.忽略对阻尼和频移贡献小的跃迁,在计算中选取(0, 0,m),(1, 0,m),(0, 1,m),(2, 0,m),(1, 1,m),(3, 0,m),(0, 2,m),(2, 1,m),(4, 0,m),(1, 2,m),(3, 1,m),(5, 0,m),(0, 3,m),(2, 2,m),(4, 1,m)和(6, 0,m) 而m 满足m ≤40的能级.上述所选能级之间的跃迁频率范围在图1跃迁频率取值范围 - 0.6ωij＜ωij＜ 3.4ω0之内.

3.2 阻尼系数和频移及其温度依赖

用迭代的方法计算集体模的阻尼系数.图3给出γ0随 γ变化的图(γ0和 γ都以 ωh0为单位),图中可以看出,γ0随 γ的增加而减小,由星号表示三个点处γ0=γ,温度 T=80 ,100,120 nK时的集体模阻尼系数值在此三点给出,分别为0.02263,0.03387,0.05546,相当于18.33,27.43,44.92 s-1.

把(25)式改写为

图3 朗道阻尼系数 γ0随 γ变化函数图Fig.3.The γ0 as a function of γ for the Landau damping rate.

图4 凝聚体集体模的频移(a)和朗道阻尼系数(b)随温度T变化Fig.4.The frequency-shift (a) and the Landau damping rate γ0(b) of the collective mode in the condensate as a function of the temperature T.

4 讨 论

如前所述,采用元激发本征频率的TFA理论计算值,因为它们接近于实验测量值.图4(a)中,理论曲线和实验数据点及其误差线错开了一段距离,这是因为剪刀模本征频率的TFA理论计算值与实验测量值之间存在大约 5% 的误差.

如前所述,TFA基态波函数(26)式是GP方程(7)式的解,而bTFA基态波函数(9)式是在(26)式中引入q 而得到的,因此(9)式相当于(26)式有误差,其平均误差为

取 q =1 ,将本文选取的相关系统参量代入(29)式计算得其平均误差=0.77% ,说明bTFA基态波函数(9)式近似满足GP方程(7)式.

如前所述,只有失谐很小的跃迁才对阻尼和频移有显著的贡献.本文计算频移时考虑在图1跃迁频率范围内的跃迁,在此范围外的跃迁对频移的贡献可以忽略不计.图2的跃迁频率范围比图1小而与图1插图相同,本文计算阻尼时考虑这个范围内的跃迁,在此范围外的跃迁对阻尼的贡献可以忽略不计.图2插图的跃迁频率取值范围只是图2的9%,但在图2插图跃迁频率取值范围内的跃迁对阻尼的贡献是总阻尼的 50%.

5 结 论

在HFB平均场理论近似的朗道机制频率扰动关系中,考虑了三个元激发的弛豫及三个弛豫的正交关系,得到计算BEC中集体激发朗道阻尼和频移的公式.把凝聚体基态波函数取为高斯分布函数的一阶近似来消除TFA近似三模耦合矩阵元的发散而实施了解析计算.采用同样的计算方法,本文和两个前期工作分别研究BEC中剪刀模、单极子模和四极子模,分别采用与相关实验相同的参量,所有集体激发阻尼和频移的理论结果分别与相关实验结果相符合.期望本文方法能够有助于BEC和2BECs中集体激发阻尼和频移的研究工作,有助于探究元激发阻尼和频移的物理机制.