黄 影, 张丽华

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

0 引 言

基于“新工科”的线性代数案例式教学模式是指通过研究线性代数知识在工程、物理、电子、信息、化学等各个领域中的应用,进行合理的教学设计,在线性代数的课堂教学中,通过引入实际案例,使学生能够学以致用,为培养创新型和研究型人才打下坚实的基础。

1 基于“新工科”的线性代数课程建设的背景、内容

1.1 基于“新工科”的线性代数课程建设的背景[1-3]

教育部于2017年4月公布的《“新工科”建设行动路线》中明确提出,“新工科”是我国教育改革的方向,众多综合类高校及工科优势高校共同探讨,达成“复旦共识”“天大行动”“北京指南”,为顺应国际形势,开创工程教育改革的新发展思路,提出了“新工科”的教育理念。新工科的内涵是: 以立德树人为引领,以应对变化、塑造未来为建设理念,以继承与创新、交叉与融合、协调与共享为主要途径,培养多元化、创新型的卓越工程人才。这种新工科人才既具备运用既定知识解决现有问题的实操能力,又能够持续学习、自我更新,跟进知识和技术的迭代,成为引领科技革新和产业发展的中坚力量。

线性代数是高等院校理工科及经济管理等各专业的一门数学公共课,它是学生后续专业课程学习的基础和理论工具,对培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力、解决实际问题能力具有重要的作用。随着科学技术的发展和国际新形势的出现,线性代数在工程学、物理学、经济学、社会学等各个领域发挥的作用日益显露出来。线性代数课程的授课教师面临新的挑战,在进行课程教学设计时,要多关注不同专业学生需要哪类相应的数学知识,选取具有专业背景的教学案例进行教学,使线性代数的教学更有针对性。使学生能够在学习的过程中,真正体会到学以致用的乐趣,摆脱以往学习目标不明确、学习动力不足等困境。线性代数教学方式的改变,授课教师要多思考如何通过改进教学方法和考核方式,在有限的课时内,将应用案例融入到教学中来,使线性代数的课程建设适应新工科建设和发展的要求。

1.2 基于“新工科”的线性代数课程建设的内容[4-6]

1.2.1 建立线性代数与专业知识有机统一的教学模式

设计教学案例要有专业针对性,以解决专业性问题的需求为目标来提出问题、引入概念、设计解决方案,并将此问题贯穿一节课的始终,引导学生在探索专业性问题解决方案的过程中逐步建构线性代数知识体系,加深学生对课程内容本质的理解,在潜移默化间培养他们的问题意识,培养初步的科学研究意识。以计算机工程类、信息类的新工科专业为例,深入发掘专业课中隐含的线性代数知识,针对不同的章节设计与此相关的教学内容,如利用图像变换问题设计矩阵运算教学,利用图像数据压缩问题设计矩阵特征值、奇异值教学,利用机器学习问题设计二次型和正定矩阵的课程教学等。

例1 基于图像数据压缩问题的“矩阵的奇异值”教学设计(此部分内容为“矩阵的特征值”的拓展内容)

1) 问题引入。通过女神上野树里的一张照片引出像素矩阵,并利用Matlab对该矩阵进行奇异值分解。

提出问题: 如果舍去像素分解式后面的若干项,会对图像的清晰度有何影响?(利用软件去演示这种区别,并请学生总结其中的规律。)

2) 探究新知。通过讲解图像处理的基础知识,分析如何用矩阵来表示图片,进而利用Matlab将像素矩阵分解为以奇异值为系数的秩为1的矩阵的线性组合的形式,通过舍去一些含有较小的奇异值的项来比较图像清晰度的变化。以此引出矩阵的奇异值的概念,重点讲清基本定义和矩阵的奇异值分解的求法,举例加深对定义的理解,由此可以初步理解矩阵的奇异值对图像数据压缩的作用:即在尽可能保证图像可被识别的精度的前提下,我们可以保留奇异值较大的若干项,舍去奇异值较小的项即可节省大量的存储空间。

3) 深入挖掘。奇异值往往对应着矩阵中隐含的重要信息,且重要性和奇异值大小正相关。每个矩阵A都可以表示为一系列秩为1的“小矩阵”之和,而奇异值则衡量了这些“小矩阵”对于A的权重。

4) 总结拓展。在图像处理领域,奇异值不仅可以应用在数据压缩上,还可以对图像去噪。

例2 以飞行器转动的动态演示引出“线性变换的矩阵”教学设计

1) 背景介绍。三维空间线性变换最直接的几何意义和应用价值可以从飞行器的三维转动坐标中得到解释。飞行器在空中可以围绕3个轴旋转。先把飞行器的三维图像用N个顶点的三维坐标描述,其顶点次序要适当安排,使得用plot3命令能绘制出飞行器的外观。飞行器围绕各个轴的旋转的结果,表现为各个顶点坐标发生变化。只要把3种姿态的变换矩阵分别乘以飞行器外形的数据矩阵,就可以得到飞行器旋转的动态演示图像。

2) 探究新知。通过矩阵乘法的几何意义引出线性变换,包括对称变换、收缩与拉伸、剪切变换、投影等。

3) 问题拆解。飞行器的线形轮廓模型由一系列的点和曲线组成。在最简单的二维图形符号中,字母用于在屏幕上做标记,字母上点的坐标存储在数据矩阵中。通过用2)的各种变换矩阵乘以数据矩阵,来改变飞行器的状态。基于这个思想,我们来研究飞行器的转动问题。

把3种姿态的3种变换矩阵Y、P、R分别乘以图形数据矩阵G即可得到飞行器围绕各个轴旋转后的图像,其中:

也可将三种转动复合起来,即令GROTATE=(YPR)G。下面将u、v、w分别赋值为:

就得到飞行器经不同转动后相应的状态。

1.2.2 建立新型考核方式,激励学生探索各领域开放问题

深入发掘当今社会的热点问题作为应用案例,并作为学期论文布置给学生,按照一定比例计入期末成绩,打破传统的考核方式,更能激发学生自主学习能力和创新思维的培养。

2 基于“新工科”的线性代数课程建设的障碍与改进策略研究

2.1 线性代数案例式教学实施的障碍

1) 学时少。线性代数课程本身学时少、内容抽象,案例的引入必然会占用一定的时间。

2) 教材缺乏。国内的线性代数教材多偏重理论介绍,涉及的应用案例较少,不利于教师备课和学生自学。

3) 案例教学效果差别大。案例教学效果与教师对案例的分析理解程度、阐述角度以及个人教学风格等多个因素密切相关。

4) 教育设施不足。在课堂上,如果学生不能直接动手分析和计算,将使得案例法成为单纯地教师对概念和原理的讲解,起不到案例分析应有的教学效果。

5) 有些案例教学脱离实际。

2.2 对 策

2.2.1 制作微视频

针对课程学时少,没有过多时间介绍案例背景,可以制作介绍案例的微视频,给学生课前预习完成。而且微视频比教师讲解和纸质材料更加形象生动,又利于理解。

2.2.2 制作案例库

针对教材案例匮乏的现状,任课教师团队可以制作案例库,并按照专业、知识点进行分类。

2.2.3 案例讲授适可而止

“新工科”强调“自主学习,创新培养”, 案例讲解过程留出适当空间让学生自由发挥, 布置一点思考题, 特别对于那些乐于学习的学生, 可以收到更好的教学效果。

2.2.4 软、硬件的技术支持

涉及到上机操作的案例,最好让学生自己动手操作,案例式教学可以考虑在机房上课。

2.2.5 制定合理的案例使用原则

1) 新旧案例交替使用,适合就好。选取案例时,对于旧案例的选取要考虑时代背景,必要时对背景改编后进行使用,案例不论新旧,能达到好的教学效果就是好案例。

2) 案例与知识点的紧密结合至关重要。案例式教学不能流于形式,要选择与所教授知识点契合度高的案例。课程设计需要结合学生的知识储备、学科专业特点、学生的学习习惯和学习心理等多方面因素,使得案例式教学能够发挥出最优的教学效果。

3) 案例选材要简单而贴近生活,易于理解。并非高大上的案例就是好案例,案例的选取要立足学生的既有知识和日常生活,容易被学生理解和接纳,否则会适得其反,造成畏难情绪,使学生失去学习兴趣。

3 结 语

为顺应国内外工程教育改革的新形势,线性代数作为一门重要的数学基础课,教学改革势在必行,近几年来这方面的研究层出不穷[7-15]。基于“新工科”的线性代数案例式教学模式的探索是一项长期的任务,特别是设计出与各专业契合度高的案例对任课教师而言,是个不小的挑战,教师团队需要投入大量的时间、精力去进行课程设计、录制微视频、制作PPT等。