孙彦景，刘洋，周家思，曹起，李松

（1.中国矿业大学信息与控制工程学院，江苏 徐州 221116；2.西安科技大学通信与信息工程学院，陕西 西安 710600；3.香港中文大学（深圳）理工学院，广东 深圳 518172）

1 引言

高效的无线接入技术对于实现下一代无线网络的高数据速率和设备大规模连接都具有重要意义。非正交多址接入（NOMA,non-orthogonal multiple access）技术作为一种新型的多址接入技术[1]，由于可以显著地提高系统的频谱利用率与系统和速率，已经引起国内外学者的广泛关注。与传统的正交多址接入（OMA,orthogonal multiple access）技术相比，NOMA 可在同一时频资源块上通过功率复用服务多个用户，并在接收端利用串行干扰消除（SIC,successive interference cancellation）技术减少干扰。NOMA 通常根据用户的信道状态条件，为信道条件较差的用户分配更多的功率，从而利用用户间信道差异获得性能增益。文献[2]已经证明与OMA 方案相比，NOMA 辅助的多播和单播方案可以提高系统的频谱利用率。

多输入多输出（MIMO,multiple-input multiple-output）技术在不增加频谱带宽的前提下，可以提供分集增益和空间复用增益以成倍地提高数据传输速率，因此NOMA 和MIMO 的结合可以提升通信系统的能量效率及频谱利用率。文献[3]比较了MIMO 信道中NOMA 和OMA 系统在两用户及多用户场景下的和速率，仿真分析证明，在2种场景下，MIMO NOMA 的系统性能都明显优于MIMO OMA。文献[4-6]在下行链路场景中，对MIMO NOMA 系统和速率最大化问题进行了研究。文献[4]针对MIMO NOMA 多中继协作网络，提出了一种低复杂度的天线选择方案，以解决遍历和速率最大化问题，并推导出在高信噪比情况下遍历和速率上下界的闭合形式。文献[5]研究了MIMO NOMA 系统存在单个窃听者情况下的保密和速率最大化问题，并提出了基于二阶锥规划的交替优化方案。文献[6]基于完美信道状态信息（CSI,channel state information），在系统总功率受限和弱用户服务质量（QoS,quality of service）需求的约束下研究了MIMO NOMA 系统和速率最大化问题，并提出了在全速率传输情况下的最优脏纸编码算法。

然而，以上研究均假设CSI 是完美的。随着发射天线数增加，在大规模MIMO 系统存在导频污染的情况下，由于天线校准误差、信道估计误差以及反馈受限，获取精确的发射端CSI 变得尤其困难，因此这种假设过于理想化，不能直观反映实际网络的性能。而且NOMA 系统的编解码与CSI 质量密切相关，所以分析具有非完美CSI 的NOMA 系统显得尤为重要。

在文献[6]的基础上，文献[7]基于非完美CSI，在瑞利衰落信道中研究了同样的优化问题，并提出最优和低复杂度次优功率分配算法。文献[8-10]在总功率和用户QoS 受限的情况下，研究了MIMO NOMA 系统的能量效率最大化问题，并提出了用户分簇方案和混合波束成形方案。此外，为了减小接收信号与发送信号之间的欧氏距离，在接收端可采用最小均方误差（MMSE,minimum mean squared error）接收机接收信号。文献[11]研究了MMSE 波束成形和基于NOMA 的最大比传输这2种传输模式的自适应切换问题，以最大化加权和速率。

目前在针对MIMO NOMA 系统和速率的研究中，在接收端利用SIC 减少强用户受到的干扰时，仅考虑强用户解码弱用户的信号的总速率。而在SISO NOMA 系统中，在系统总功率和用户QoS 受限的情况下，需要对每个用户的解码速率进行限制[12-13]，那么在MIMO NOMA 系统中，为了保证各用户信号的正确解码，限定强用户的每条数据流都需要正确解码弱用户的信号具有重要意义。在NOMA 系统中，发送天线噪声功率与发送信号功率成正比，弱用户所分配的大功率信号的发送噪声可能会掩盖小功率的有用信号，因此在系统建模时还需要考虑发送天线噪声。

针对上述问题，在系统总功率受限和用户QoS需求的约束下，本文基于非完美CSI 研究了MIMO NOMA 系统的预编码和接收机设计以最大化系统和速率。在接收端，将发送天线噪声考虑在内，通过设计接收机以最小化接收信号与发送信号之间的误差，限定强用户的每条数据流都可以解码弱用户的信号，从而可以保证用户信号的每条数据流的正确解码。但由于预编码矩阵和其共轭转置矩阵的耦合导致所形成的优化问题具有非凸性，本文利用半正定规划和一阶泰勒展开形成D.C.（difference of two convex functions）问题，由于重构优化问题时忽略了预编码协方差矩阵秩为1的限制条件，采用罚函数保证优化问题之间等价。仿真结果表明，与OMA 系统相比，本文提出的D.C.算法可以提升系统和速率。

2 系统模型

本文考虑的系统模型如图1所示。基站与各用户所配置的天线数分别为M和N，并假设M≥N。假设用户1和用户2分别代表强用户和弱用户，其中，Hi∈CN×M表示基站到用户i(i∈{1,2})的信道。在发送端，基站利用预编码矩阵Vi∈CM×N对信号si∈CN×1进行预编码，并将两用户信号叠加后再分别发送给用户i。假设源信号si的协方差矩阵为单位阵，即Cov(si)=I。

图1 MIMO NOMA 系统模型

基站发送给用户i的信号xi，经过无线信道传输后可表示为

其中，j∈{1,2}且j≠i；n i为加性高斯白噪声；c为发送天线噪声，其功率与发送信号功率成正比，即

其中，ei为接收天线噪声，其功率与接收噪声的功率成正比，即

其中，β为比例系数，Φi为ui的协方差矩阵，即

此外，本文假设发送端无法获得完美CSI，即存在信道估计误差，其协方差矩阵为单位阵σ2I，并满足

3 问题建模

根据NOMA 技术原理，强用户可利用SIC 消除弱用户干扰信号，再解码自身信号，因此强用户接收的信号可表示为

其中，t1为系统总干扰。t1及其协方差矩阵可分别表示为

在接收端，每条数据流的接收机、接收信号及解码信号可分别表示为，它们满足。本文以最小均方差为优化目标，考虑如下优化问题

将目标函数写成矩阵形式并展开可得

因此，解码后的第n个符号可表示为

对于有用信号和干扰信号，其功率分别为

相应的信干噪比为

因此，用户1的第n路信号的传输速率可用香农定理求出，即

同理可得，用户1与用户2分别解码用户2的第n路信号的速率，分别为

在保证系统总功率和用户QoS 需求前提下，最大化系统和速率，建立如下优化问题

上述限制条件C2表示利用SIC 减少强用户受到的干扰时强用户解码弱用户信号的速率应不小于弱用户解码自己的速率。在单天线NOMA 中，强用户的信道增益较大，因此可以完全解码弱用户的信号以消除干扰。但在多天线情况下，设计预编码时，无法保证上述干扰消除条件，因此，需要限定强用户的每条数据流都能够完全解码弱用户的信号。对于限制条件 C3，由于Qi=，根据Rank(AB)≤min (Rank(A),Rank (B))，因此限定预编码协方差矩阵的秩为1。

4 D.C.规划

由于问题P2以及限制条件C2的高非凸性，导致问题P2是NP-hard 问题。本文利用半正定规划[14]以及一阶泰勒展开形成D.C.问题。

为保证强用户可以完全解码弱用户的信号，弱用户应以r1→2,n与r2,n中的较小速率传输信号。因此，系统和速率等价为

通过引入辅助变量g1,n和g2,n，并假设，同时忽略预编码协方差矩阵的秩为1时，问题P2可重构为

但仅当最优预编码协方差矩阵的秩为1时，才能保证问题P3与P2等价，本文利用罚函数解决等价问题，原理如下。如果Rank(Q1)=Rank(Q2)=1，那么Q1和Q2分别只有一个非0特征值，即秩为1的约束可转化为

其中，∀k∈{1,2}。由于λmax(Qk)在厄米特矩阵集合上为凸集，可将式(23)最小化作为优化目标。

其中，ς＞0。如果惩罚因子ς足够大，那么tr(Q1+Q2)和λmax(Q1+Q2)差值可最小化。否则，即使的值很小，系统功耗仍会很大。仿真结果表明，最优预编码协方差矩阵都满足秩为1的条件，可以保证问题P3与P2等价，因此在仿真时省略了罚函数。

因为非凸限制条件，问题P3仍不是凸优化问题。将r1,n、r2,n和r1→2,n的表达式进行统一整理，并表示为

其中，K为N×N的厄米特矩阵，h为N×1的向量。易得式(24)右侧满足1-hHK-1h=det (1-hHK-1h)，再根据 det (1+aHa)=det(I+aaH)，其中a为行向量，可得同时，代入等式约束，限制条件C3可表示为

不等式(26)为凹函数-凹函数≥0的形式，即为D.C.形式。由于被减函数Ψ1,n为凹函数，其二阶偏导小于或等于0，一阶泰勒展开式大于或等于原函数，则当被减函数Ψ1,n用其一阶泰勒展开式替代时，放大了被减函数Ψ1,n，定义域变为原定义域的子集，如果仍满足限制条件，那么可以保证原函数也满足限制条件。

将式(26)中的函数Ψ1,n用其一阶泰勒展开式代替，可得

此时，式(27)为凹函数-仿射函数≥0的形式，可得到一个凸集，从而实现了由非凸限制条件C3转化为凸集的目标。

同理，限制条件C4与C5可转化为C7与C8，即可得到下述凸优化问题

算法1D.C.规划（DCP）

1)设置迭代次数k=0，并初始化一个中心点

2)重复下述迭代过程；

3)在点(k)Q处更新P4中限制条件C6～C8；

6)更新迭代次数：k=k+1；

7)直到目标函数收敛。

对于含有S个变量的传统内点法[16-17]，其复杂度为O(S3)。与传统内点法类似，上述D.C.算法的复杂度为O((M×2N)3.5)，其中，M和N分别为发送和接收天线数。

5 仿真结果与分析

本文使用Matlab 软件对所提D.C.算法的性能进行仿真。系统将根据两用户的信道状态tr(HHH)确定用户的强弱。为评估本文所提算法的性能，以MIMO OMA 系统作为仿真参考对象，图2和图3中OMA 曲线与采用等时隙时分多址技术的系统性能在数值上相等。为确保对比公平性，在MIMO OMA 系统中也利用凸优化算法设计预编码矩阵及接收机。所有仿真均采用瑞利信道[15]，发送噪声系数κ、接收噪声系数β与信道估计误差方差σ2均为-40 dB，加性高斯白噪声功率Pn=0 dB，基站发送功率Pt=25 dB，收发天线数M和N分别为2或4。以3种天线方案为例，本文所提算法可以扩展应用到其他天线方案。

图2仿真了不同SNR 情况下的系统和速率。由图2可知，随着SNR 的增加，NOMA 与OMA的系统和速率均随之增加，当采用不同收发天线数时，NOMA 的性能都明显优于OMA。M=2、N=2和M=4、N=2这2种天线方案所建立的有效信号链路数都为2，而M=4时性能更优，因为增加的2根天线所产生的信道多样性，可有效对抗多径衰落，减小接收端的SNR 波动，从而使发射分集提供的分集增益可在不增加传输功率和带宽的情况下提升系统和速率。

图2 不同SNR 情况下的系统和速率比较

图3仿真了基站发送天线数量不同时的系统和速率，其中SNR=25 dB。由图3可知，随着发送天线数M的增加，系统和速率随之增加，因为发送端通过多条路径发送信号，接收端可接收到同一个数据的多个独立衰落信号，从而提高了接收可靠性。但当发送天线数M继续增加时，系统和速率趋于饱和，因为MIMO NOMA 系统信道容量与较小的接收天线数N成正比，即只增加发送天线数M时，产生的分集增益可以改善接收端信噪比，而没有改变信道极限容量。当接收天线数N翻倍时，系统和速率有较大改善。与OMA 系统相比，NOMA 对系统和速率有较明显的提升。

图3 不同天线数量情况下的系统和速率比较

图4仿真了所提D.C.算法的收敛性。从图4中可以看出，所提D.C.算法收敛性良好，当判决阈值δ=10-3时，系统和速率可在几次迭代内趋于饱和。当收发天线数不同时，系统和速率的收敛速度相似。当M=4、N=4时，与另2种方案相比，所需迭代次数相应增加。此外，当M和N增加时，系统的和速率性能显著提升，因为在系统总功率受限条件下，只增加发送天线数与同步增加收发端天线数可分别产生分集增益以及空间复用增益。

图4 D.C.算法的收敛性

6 结束语

在系统总功率受限和用户QoS 需求的约束下，本文研究了基于非完美CSI 的MIMO NOMA 系统和速率最大化问题。为在强用户信号接收端利用SIC 消除弱用户信号的干扰，限制强用户的每条数据流都可以解码相应的弱用户信号。本文所建立的优化问题由于发送信号的预编码矩阵和其共轭转置矩阵的耦合而具有非凸性，利用半正定规划和一阶泰勒展开形成D.C.问题，由于重构优化问题时忽略了预编码协方差矩阵秩为1的限制，采用罚函数以解决等价问题。仿真结果表明，本文所提出的D.C.算法收敛性良好，与OMA 系统相比，可以较明显地提升系统和速率。