李伟

问题1 设f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的单调区间;

（2）当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.

本题是2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标版）理科数学第21题，是一道压轴题，难度系数较大，大多数考生只能完成第一问，对第二问只能望洋兴叹，无从下手，下面给出几种解法.

解 （1）略.

（2）解法一：标准答案（略）

标准答案中给出的解法是利用分类讨论的思想，很多学生一时很难把握分几步讨论，如何讨论，下面笔者给出大家经常用的分离参数法.

解法二：（分离参数法）

f（x）≥0等价于ex-1-x-ax2≥0，即ax2≤ex-1-x.

当x=0时，上式恒成立.

当x>0时，上式等价于a≤ex-1-xx2，即a≤ex-1-xx2min.

令g（x）=ex-1-xx2，下面只需求g（x）的最小值，求解如下：

g′（x）=（ex-1）x2-2x（ex-1-x）x4=ex（x-2）+x+2x3.

令h（x）=ex（x-2）+x+2，则h′（x）=ex（x-1）+1，h″（x）=xex.

∵x>0，∴h″（x）>0，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，因此，h′（x）>h′（0）=0.

从而可得h（x）在（0，+∞）上单调递增，

即h（x）>h（0）=0.

由以上分析可得g′（x）>0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）>g（0）.

但在x=0处g（x）没有意义，

所以只需求出

limx→0g（x）=limx→0ex-1-xx2=limx→0ex-12x=limx→0ex2=12.

综上可得，a≤12..

这种解法利用了洛必达法则，解法虽然较为烦琐，但是巧妙地利用了高等数学的知识解决了分离参数之后求最小值的问题.

下面笔者给出一种较为简单的方法和大家分享，解法如下：

解法三：∵ex=1+x+x22+…+xnn！（泰勒展开式），

∴当x≥0时，ex≥1+x+x22，（*）

∴当x>0时，ex-1-xx2≥12（当x=0时解法二已讨论）.

从而可得，a≤12.

此解法非常巧妙地利用泰勒展开式求出分离参数之后a的取值范围，原本复杂、烦琐的问题经过化简之后变得极为简单，通过此题也让我们感受到近年来高考数学导数题与高等数学的联系慢慢地增多，对学生的知识层次要求逐渐地提高，当然对上述解法中的（*）式也可以通过移项求最值的方法证明.同时也让我们发现本题和我们所学新课标教材是紧密相连的，真正体现出了高考题源于教材却高于教材.

问题2 已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性;

（2）当m≤2时，证明f（x）>0.

本题是2013年全国新课标卷Ⅱ理科第21题，是一道压轴题，第一问较为简单，可第二问难度系数较大，学生得分率普遍较低，很多学生做此题时利用分类讨论的思想，最后由于时间有限很难做出正确的结果，笔者看完此题之后发现可以使用较为简便的方法，现给出如下解法.

解 （1）略.

（2）因为ln（x+m）≤ln（x+2），所以要证f（x）>0，

只需证ex-ln（x+2）>0，即证ex>ln（x+2），

下面证ln（x+2）≤x+1，（x>-2）.

令g（x）=ln（x+2）-x-1，g′（x）=-x-1x+2.

令g′（x）=0得x=-1，

所以当-20，遞增，

当x>-1时，g′（x）<0，递减，

因此，g（x）的最大值为g（-1）=0，所以g（x）≤g（-1），即ln（x+2）≤x+1，

所以只需证ex>1+x，而根据问题（1）得ex≥1+x恒成立，

当x=0时e0>ln2，从而有ex>ln（x+2）.

上述解法避免了大量的讨论，利用化归的思想将复杂的问题转化成较为简单的不等式加以证明，而且做完此题后笔者发现问题1和问题2之间有一种隐秘的联系，在解决第二问时，如果用等价转化的思想都可以避免复杂的运算，它们都是新课标Ⅱ理科第21题，都是压轴题，但是解题时利用的一些不等式在教材练习题中就有，只要将课后习题做熟练，利用上述方法就可以很快地解决本题，再一次体现了高考题的源头在教材.常言道“条条大路通罗马”，在高考有限的两个小时中如果能快速而准确地解决一道压轴题就必须有好的解题方法，方法对则事半功倍，方法欠妥则事倍功半，方法错则错失良机得不到高分.章建跃先生认为：“好算法是具备相关知识并形成一定运算经验后形成的，能迅速设计好算法是能力强的表现”，因此，如果在高考复习中有好而快的方法就必须研读教材，挖掘教材，深思教材，做到视野开阔、心中有数！