一、选择题

1.B 2.A 3.C 4.B 5.D 6.B

7.A 8.C 9.D 1 0.D 1 1.A 1 2.A

二、填空题

1 3.(—∞，2 l n2—2] 1 4.4

1 5.

三、解答题

1 7.(1)依题意知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f "(x)=

①当a≤0时，f "(x)＞0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增。

②当a＞0时，由f "(x)=0得x=，则当x∈时，f "(x)＞0；当x∈时，f "(x)＜0。所以f(x)在上单调递增，在上单调递减。

证明如下：由(1)知函数g(x)=x2—2 l nx—x。

因为x1，x2是函数g(x)的两个零点，不妨设0＜x1＜x2，故两式相减得(x—x)(x121+x2—1)=2(l nx1—l nx2)，即x1+x2—1=

又因为g "(x)=2x——1，所以

设t=，由0＜x＜x，得0＜t＜1。

12

令φ(t)=l nt—则"(t)=φ

又0＜t＜1，所以φ "(t)＞0，所以φ(t)在(0，1)上是増函数，则φ(t)＜φ(1)=0，即当0＜t＜1时，l nt—，从而(l nx1—

又0＜x1＜x2⇒x1—x2＜0，所以0， 故

1 8.(1)由题意知，f "(x)=，所以f "(0)=1。又f(0)=—，故所求切线方程为y+=x，即x—y—=0。

(2)令h(x)=f(x)—g(x)=—m(x＞0)，则h "(x)=，易知h "(1)=0。

当0＜x＜1时，h "(x)＞0；

当x＞1时，h "(x)＜0。

所以函数h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减。

所以h(x)max=h(1)=—

综上可知，函数f(x)与g(x)的图像在(0，+∞)上有2个交点。

1 9.(1)f "(x)=2x+a—≤0在[1，2]上恒成立。

令h(x)=2x2+a x—1，有即得

(2)假设存在实数a，使g(x)=a x—l nx(x∈(0，e])有最小值3，g "(x)=a—

①当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min=g(e)=ae—1=3，a=(舍去)。

综上，存在实数a=e2，使得当x∈(0，e]时，g(x)有最小值3。

(3)令F(x)=e2x—l nx，由(2)知，F(x)max=3，令φ(x)=，则φ "(x)=

当0＜x≤e时，φ "(x)≥0，h(x)在(0，e]上单调递增，所以φ(x)max=φ(e)==3，所以∀x∈(0，e]，e2x—l nx＞，即e2x2—x＞(x+1)l nx。

2 0.(1)f "(x)=—2xex+(1—x2)ex=(1—2x—x2)ex。令f "(x)=0，得x2+2x—1=0，解得x1=——1，x2=—1。令f "(x)＞0，则x∈(——1，—1)；令f "(x)＜0，则x∈(—∞，——1)∪(—1，+∞)。所以f(x)在区间(—∞，——1)，(—1，+∞)上单调递减，在区间(——1，—1)上单调递增。

(2)f(x)=(1+x)(1—x)ex。

当a≥1时，设函数h(x)=(1—x)ex，h "(x)=—xex＜0(x＞0)，因此h(x)在[0，+∞)上单调递减。又h(0)=1，故h(x)≤1，所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤a x+1。

当0＜a＜1时，设函数g(x)=ex—x—1，g "(x)=ex—1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1。

当0＜x＜1时，f(x)＞(1—x)(1+x)2，(1—x)(1+x)2—a x—1=x(1—a—x—x2)，取x0=，则x0∈(0，1)，(1—x0)(1+x0)2—a x0—1=0，故f(x0)＞a x0+1。

当a≤0时，取x0=，则x0∈(0，1)，f(x0)＞(1—x0)(1+x0)2=1≥a x0+1。

综上可知，a的取值范围是[1，+∞)。

2 1.(1)由f(x)=ex—a x—1，得f "(x)=ex—a。因为曲线y=f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为—1，所以f "(0)=1—a=—1，所以a=2，所以f(x)=ex—2x—1⇒f "(x)=ex—2。

由f "(x)=ex—2＞0，得x＞l n2；由f "(x)=ex—2＜0，得x＜l n2。

所以函数y=f(x)的单调递减区间为(—∞，l n2)，单调递增区间为(l n2，+∞)。

(2)设x＞l n2，所以2 l n2—x＜l n2，由 (1)知，f(2 l n2—x)=e2ln2—x—2(2 l n2—x)

令g(x)=f(x)—f(2 l n2—x)=ex——4x+4 l n2(x＞l n2)，则g "(x)=ex+4 e—x—4≥0，当且仅当x=l n2时，等号成立，所以g(x)=f(x)—f(2 l n2—x)在(l n2，+∞)上单调递增。

又g(l n2)=0，所以当x＞l n2时，g(x)=f(x)—f(2 l n2—x)＞g(l n2)=0，即f(x)＞g(2 l n 2—x)，所以f(x2)＞g(2 l n2—x2)。

因为f(x1)=f(x2)，所以f(x1)＞f(2 l n2—x2)。

由于x2＞l n2，所以2 l n2—x2＜l n2。

因为x1＜l n2，由(1)知函数y=f(x)在区间(—∞，l n2)上单调递增，所以x1＜2 l n2—x2，即x1+x2＜2 l n2。

2 2.(1)由已知得f "(x)=(x＞0，k＞0)。

①当0＜k＜2时＞k＞0，且＞2，所以x∈(0，k)时，f "(x)＜0；x∈(k，2)时，f "(x)＞0。所以函数f(x)在(0，k)上是减函数，在(k，2)上是增函数。

②当k=2时，=k=2，f "(x)＜0在(0，2)上恒成立，所以f(x)在(0，2)上是减函数。

③当k＞2时，0＜＜2，k＞，所以x时，f "(x)＜0；x∈时，f "(x)＞0。所以函数f(x)在上是减函数，在上是增函数。

(2)由题意，可得f "(x1)=f "(x2)(x1，x2＞0，且x1≠x2)，即—1，化简得4(x1+x2)=

令g(k)=，则g "(k)=1—

所以g(k)=k+在[4，+∞)上是增函数，所以g(k)≥g(4)=5，所以所以x1+x2＞

故x1+x2的取值范围为