扈保洪

在天津市2019年中考数學试卷中，有一道试题如下：

题目 如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A、B的圆的圆心在边AC上.

（Ⅰ）线段AB的长等于;（答案：172）

（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图1所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）.（注：现已将原来题图中部分多余的网格删除）

因为在该中考题的标准答案中，所求作的点P只给出一个位置（见图2），且除点P的画法外，也没有构图思路的详细解析过程;而根据题设条件，利用尺规作图法不难发现，满足∠PAC=∠PBC=∠PCB的点P应该有两个位置（见图3的点P1和P2），所以这种情况值得商榷，因而也引起笔者对该问题的关注.

然而，随着探究的深入，笔者除修正了上述中考题的答案外，还对该试题的特色以及对教学的启示等有些许领悟.因此，为促进对该类问题的研究，更好地反哺教学，现整理成文，与同仁交流.1 构图思路解析

1.1 画出示意图

根据题设条件，由∠PBC=∠PCB知，点P应在BC边的垂直平分线P1P2上，由∠PAC=∠PCB知，点P应在以AC为弦，且与BC切于点C的⊙O1上，据此，可利用尺规及量角器画出较准确的示意图（见图3，EF是⊙O的直径，CH是⊙O1的直径）.这样，由于点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，则点P必是直线P1P2与⊙O1的交点，又因直线P1P2与⊙O1上有两个交点P1、P2，故所求作的点P应有P1、P2两个位置（见图3），而且也正因为有图3的直观启示，才引发下列的观察、猜想、验证、计算、推理等数学活动过程.

1.2 点P1准确位置的构图思路

在图3中，经仔细观察发现点B、P1、O可能共线.因此，不妨以此为目标，探究点P1准确位置的构图思路：设点P1在OB上，则由∠ABO=∠BAO=30°，∠BOC=2∠BAO=60°，知∠P1AC=∠P1CB=∠P1BC=∠ABC-∠ABO=50°-30°=20°，∠P1CA=∠ACB-∠P1CB=100°-20°=80°;这样，延长P1C交⊙O于点Q，则∠ACQ=100°.

由于∠ACB=∠ACQ=100°，故BC与QC关于直径AN成轴对称，进而连接QO后，则由对称性知∠OQC=∠OBC=20°，于是∠COQ=180°-100°-20°=60°;那么再延长QO（交AB于D），知OD平分∠AOB，且OD是边AB的中线 ，所以根据平行线分线段成比例定理，点D也是边AB与格线的交点.因此，当点P1在OB上时，点P1的位置可由射线DO、QC和半径OB来确定.

另一方面，若点P1不在OB上，设OB与⊙O1交于点P3，则由上述分析知∠P3AC=∠P3BC=∠P3CB=20°.而由点P2不在△ABC的内部知，点P2与P3不可能重合，但满足∠PAC=∠PBC=∠PCB的点P只有两个位置，故点P1必与点P2重合（否则，点P将有三个位置）.因为该结论与点P1、P2不重合（由于易证12BC

因此，由上述两个方面的分析知：先画射线DO（交⊙O于Q），再画射线QC，则QC与OB的交点必为所求的点P1（见图2）.

1.3 点P2准确位置的构图思路

在图3中凭直觉还可发现：点P2可能是直线P1P2、⊙O、⊙O1三者的公共点;而且分别延长BO（交⊙O于M）、AO（交⊙O于N），并连接MN（交CQ于R），则点O、P2、R可能共线;另外，点G（P1A与OD交于G）、P2、C也可能共线.那么，这些猜想是否合理呢？不妨验证一下（注：因为用尺规所画出的图3比较准确，所以有理由认为上述发现（猜想）可能都是真实的）：

在图3中，假设点P2在射线RO上，由于易知OQ与MN互相垂直平分，则OR=QR，∠P2OA=∠NOR=60°-∠QOR=60°-20°=40°，进而得∠P2AO=∠AP2O=70°，∠P2BA=20°，∠P2BC=50°+20°=70°，∠P2HC=∠P2AO=70°;于是在Rt△P2CH中，∠P2CH=20°，∠P2CB=90°-20°=70°.

假设点P2在射线CG上，因易知△OCP1≌△OGP1，故点C、G关于OB对称，于是CG⊥OB，得∠P2CO=30°，∠P2CB=70°，进而∠P1CH=90°-∠P1CB=70°;又由P1P2∥CH知，⊙O1的内接四边形P1P2HC为等腰梯形，故∠P2HC=70°，∠P2AC=70°;再由四边形P1P2HC的内角和为360°，知∠P2BC=70°.

显然，上述各结论与题设条件均无矛盾.

但需要明确的是：以上只是验证了猜想，尽管这种验证有助于学生做出正确的判断，而且以上述猜想为基础，学生能够提炼出只用无刻度直尺画点P2位置的两种方法，并相应地画出图4和图5（这两个图虽然是由合情推理得到的，但教学中允许使用合情推理，由此得出的正确结论自然也应列出来，这正是原标准答案的缺失之处）.然而，这种验证却是以某些假定的结论为前提的合情推理，要证实上述猜想，还需要给出严谨的证明过程（题目未做要求）. 证明 当通过画射线RO找点P2（即图4的点P）的位置时，设射线RO交⊙O于点P，并连接PA、PB、PC（见图4），则∠POA=40°，∠PBA=20°，得∠PAO=∠APO=70°，∠PBC=50°+20°=70°.

令∠PCB=θ，则∠ACP=100°-θ，∠APC=10°+θ.于是，在△ABC、△PBC、△PAC中，依次有：ACsin30°=BCsin50°①，BCsin70°=PCsin（110°-θ）②，PCsin（10°+θ）=ACsin70°③;