朱记松　陈俊国

1 原题呈现如图1，在正方形ABCD中，點E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（）.

A.0B.4C.6D.8

2 试题解析

分析1 从几何的角度，需充分发挥直观想象和逻辑推理，依据图形的对称性，首先要判断正方形一边上的点到E，F两点的距离之和的最小值与9的大小关系：（1）若点到E，F两点的距离之和的最小值小于9，而线段的两端点到E，F两点的距离之和大于9，则有2个满足条件的点;（2）若点到E，F两点的距离之和的最小值等于9，则有1个满足条件的点;（3）若点到E，F两点的距离之和的最小值大于9，则没有满足条件的点.

解法1 以AD边为例.如图2，作点E关于直线AD的对称点E′，连接E′F交AD于点M，连接EM，在AD上任取点P1（异于点M），连接E′P1、EP1，由轴对称可知：E′M=EM，E′P1=EP1，在△P1E′F中，E′P1+P1F>E′F，即E′P1+P1F>E′M+MF，即：EP1+P1F>EM+MF，所以当点P与点M重合时，PE+PF取最小值，为线段E′F的长.

因为AC为正方形ABCD的对角线，所以∠DAC=45°，因为AE、AE′关于直线AD轴对称，所以∠E′AC=90°，AE′=AE=4，所以E′F=42+82=45<9.

如图3，易知AE+AF=4+8=12>9，过点D作DN⊥AC于点N，因为△ADC是等腰直角三角形，则点N是斜边AC的中点，所以AN=CN=DN=122=6，又因为AE=CF=4，所以EN=FN=122-4=2，所以DE=DF=22+62=210，所以DE+DF=410>9.图3图4

如图4，在线段MD上任取两点P2，P3，满足点P3在P2的右边，连接E′P2，FP2，E′P3，FP3，延长E′P2交FP3于点K，在△P3E′K中，E′P3+P3K>E′K，即E′P3+P3K>E′P2+P2K，在△P2KF中，P2K+FK>P2F，则E′P3+P3K+P2K+FK>E′P2+P2K+P2F，即E′P3+P3F>E′P2+P2F，所以EP3+P3F>EP2+P2F，故当点P从点M逐渐向点D运动的过程中，PE+PF逐渐增大，同理可证，故当点P从点M逐渐向点A运动的过程中，PE+PF也逐渐增大.

综上所述，在线段AM和MD上，均有且只有一个点到E、F的距离之和为9，则在边AD上有且只有两个点到E、F的距离之和为9，则由图形的对称性知满足PE+PF=9的点P的个数是8.

分析2 从代数的角度，应强调数学运算，需建立适当的平面直角坐标系，将正方形边上满足条件PE+PF=9的点P个数的问题等价转化成探究对应方程解的个数问题.

解法2 建立如图5所示的平面直角坐标系xOy，分别过E，F作x轴的垂线，垂足分别为G，H，则AB∥EG∥FH∥CD.图5

因为点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，所以BG=GH=HC=22.

故得点E（22，42），F（42，22），在线段BC上取点P（x，0）（0≤x≤62），由PE+PF=9得：

（x-22）2+（0-42）2+（x-42）2+（0-22）2=9.（1）

则x2-42x+40+x2-82x+40=9，整理得292x2-1 9442x+6 399=0，解得：x1=4862+965146≈5.2<62，x2=4862-965146≈4.2<62（计算根的判别式的值也可）.故方程（1）在0≤x≤62的条件下有两个不相等的实数解，则在线段BC上满足PE+PF=9的点P有2个，它们的坐标分别是（4862+965146，0），（4862-965146，0），再由图形的对称性得出正方形的四边上满足上述条件的点P有8个.

3 试题欣赏

3.1 关注核心知识

作为选择题的压轴题，承载着试卷的选拔功能.本题以正方形为命题背景，着重考查正方形的性质、轴对称和中心对称、三角形的三边关系、定理“两点之间线段最短”、勾股定理等知识点，具有很强的综合性，该题题设简约，但求解并不简单.

3.2 关注核心素养

考生普遍反映该题很难，有部分考生是通过猜想得出结果，其过程大致如下：因为正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，因此，满足条件的P的个数一定是4的倍数，故可以排除选项C;通过计算发现点P到E，F两点的距离之和的最小值小于9（即ME+MF=E′F=45<9），而线段的两端点A、D到E，F两点的距离之和均大于9，由此猜想：在线段AM和MD上，均有一个点到E、F的距离之和为9，则在边AD上有两个点到E、F的距离之和为9，则由图形的对称性知满足PE+PF=9的点P的个数是8.

笔者认为，从应试的角度而言，运用数学猜想得出试题答案是明智的，而从数学严谨性的角度，我们需将对数学问题的感性认识上升到理性认识，学习数学需要理性精神，理性精神的最好体现就是推理、论证，在解答本道题的过程中需要理性地思考两个问题：（1）为什么当点P在线段AD上的点M处时一定会有PE+PF最小？（2）为什么在线段AM、MD上各只存在一个点P使PE+PF=9，而不是多个？这种理性的思考充分地体现了数学核心素养之逻辑推理的重要性.

笔者从几何的角度给出了解法1，也从代数的角度给出了解法2，解法1强调直观想象和逻辑推理，而解法2将探究满足条件的点P的个数转化成一元二次方程根的个数，虽运算量偏大，但构思巧妙.其实，数学学习既离不开数学思维，也离不开数学运算，而数学运算也是数学六大核心素养之一.

3.3 关注基本图形

在解法1中涉及到两个基本模型：（1）“将军饮马”模型——在定直线的同侧有两定点，要求在定直线上找一点，使得它与两定点的距离之和最小;（2）点P是△ABC内一点，连接BP、PC，则AB+AC>PB+PC.如果考生能巧妙地运用这两个模型，那么就能有效提高解题速度，增强考试信心.4 教学启示

在今后的教学过程中，教师应积极引导学生领略数学精髓，发展核心素养.要注意做到：（1）在重视基本知识、基本数学思想的同时，教师要积极引导学生注重对数学问题的感性认识和理性认知，感性认识往往是对数学问题的归纳，类比等，即合情推理.而理性认知需注重数学核心素养的提升.对数学问题的感性认识就是数学直觉，数学直觉能帮助发现数学问题，但往往只能提供一些思路，它或正确，或错误，这时就需要对数学问题进行理性认知，即进行数学运算、推理论证等，使其知其然还能知其所以然;（2）有意识地引导学生做解题后的总结、反思，提炼出基本思路、基本方法、基本图形，建立解题模型，以丰富他们的解题经验，提高其分析问题、解决问题的能力.