孔凡红

几何是初中数学非常重要的内容，几何型综合题更是近几年中考考查的热点题型.但学生在解决几何类问题时，常常“望题兴叹”，找不到解决问题的途径与方法.下面以2019年济宁中考第22题为例，谈谈由“形”化“型”，提炼模型，探索有效的解题策略，更好地培养学生分析，解决问题的能力.1 试题呈现

（2019年山东济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G.

（1）求线段CE的长;

（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DAM，设AM=x，DN=y.

①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值;

②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值;若不存在，请说明理由.2 思路突破

2.1 利用图形的折叠，探寻基本解法

解法1（勾股定理）

如图3，由折叠可知：AD=AF=10，DE=EF，又因为AB=8，所以由勾股定理得，BF=6.所以FC=BC-BF=4.在Rt△ECF中，设CE=x，则EF=8-x，所以（8-x）2=42+x2解得x=3，即CE=3.

解法2（相似三角形）

图3中，由折叠可知∠AFE=∠ADE=90°，所以∠B=∠AFE=∠ECF=90°（一线三直角），易证△ABF∽△FCE，所以ABFC=BFCE，即84=6CE，解得CE=3.

解法3（锐角三角形函数）

如图3，在Rt△ABF中，tan∠BAF=BFAB=34，因为∠BAF=∠EFC，所以tan∠EFC=ECFC=34，EC4=34，所以CE=3.

评析 通过上述解法，我们看出勾股定理、相似三角形和锐角三角函数具有非常紧密的联系，它们之间可以相互转化，所以认真审题，抓住本质，选取简便方法求解.

2.2 识别经典相似模型，几何问题代数化

大部分学生被第（2）问难住了，关键是没有从繁杂的几何图形中辨别出经典几何相似模型——“一线三等角”相似模型（图4）或“母子”相似模型（图5）.

一线三等角型 图5 母子型

解法1 由折叠可知：AD=AF，∠DAE=∠FAE.因为四边形ABCD是矩形，

所以AD∥BG，所以∠DAE=∠AGF，所以∠FAG=∠AGF，所以四邊AFGD是菱形.

又因为AB=8，BG=16，由勾股定理得AG=AB2+BG2=85.

因为∠DMG=∠DMN+∠NMG=∠DAM+∠ADM，∠DMN=∠DAM，

所以∠ADM=∠NMG.又因为∠DAM=∠MGN，所以△ADM∽△GMN，

所以ADGM=AMGN即1085-x=x10-y，整理得y=110x2-455x+10，当x=45时，ymin=2.

解法2 易证△DMN∽△DGM，所以DM2=DN·DG=10y.

下面只需用x表示出DM2就可以了.

生1：如图6，过点M作MH⊥AD于点H

则△AMH∽△GAB，所以MHAH=ABGB=816=12.

又因为AM=x，所以MH=55x，AH=255x，

所以DH=10-255x，由勾股定理得DM2=MH2+DH2=（55x）2+（10-255x）2=10y，整理得y=110x2-455x+10，当x=45时，ymin=2.图6 图7

生2：如图7，连接DF交AG于点O，因为四边形ADGF是菱形，所以AG⊥DF，易求DF=45，所以DO=25，AO=45，

所以DM2=DO2+MO2=（25）2+（45-x）2=10y，整理得y=110x2-455x+10，当x=45时，ymin=2.

生3：由余弦定理可得DM2=AD2+AM2-2AD·AM·cos∠DAG，

因为∠DAG=∠AGB，所以cos∠DAG=cos∠AGB=1685=255，

10y=102+x2-2×10×x×255，

整理得y=110x2-455x+10.当x=45时，ymin=2.

评析 此问主要考查相似的两种模型及勾股定理的应用，所以平时要善于积累几何模型，从繁杂的几何图形中抽象出熟悉的几何模型，问题便可迎刃而解.从试卷的多种解法中，也发现个别能力强的学生已经提前触摸高中教材.并能利用高中知识点解决初中问题.这也提示着教师在初中最后复习阶段要针对不同的学生进行因材施教，促进个性发展.

2.3 等腰三角形的分类讨论思想

存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形.

①当MD=MN时（图8），使△DMN是等腰三角形，

则△ADM≌△GMN，所以AD=MG，即10=85-x，所以x=85-10.

②当DM=DN时（图9），∠DMN=∠DNM=∠DGM，此时点N与点G重合，不合题意.

③当ND=MN时，

解法1 如图10，因为ND=MN，所以∠NDM=∠NMD=∠DGM，

所以MD=MG=85-x，因为△ADM∽△GMN，所以ADGM=AMGN=DMMN，即1085-x=x10-y=85-xy，

由1085-x=x10-y得10y=x2-85x+100，

由1085-x=85-xy得10y=x2-165x+320，

所以x2-85x+100=x2-165x+320，所以x=1125.

解法2 如图11，过点M作MQ⊥DG于点Q，因为ND=MN，所以∠NDM=∠NMD=∠DGM，所以MD=MG.又因为MQ⊥DG，所以Q为DG中点，因为DG=10，所以GQ=5，又因为tan∠QGM=tan∠AGB=816=12，所以MQ=5 2[SX）]，MG=55 2[SX）]，所以x=85-552=1125.

综上所述，当x=85-10或1125时△DMN是等腰三角形.

评析 本问针对三种情况的讨论不难，难的是根据每两边相等推出角（边）之间的数量关系，再联系各种性质即可求解.

3 启示与思考

从2019年山东济宁中考第22题可以看到，以相似三角形基本模型为载体的中考试题，能把众多的平面几何知识，甚至函数知识联系在一起，结论多，变形多，需要用心的透过现象看本质，努力抓住“变”中之“不变”，借图给力，顺水推舟，寻求解法.