吴国庆　朱杰

七年级学生在学习平面直角坐标系后，会遇到一类三点共线问题，由于学生没有学习一次函数知识，这里需要借助构图，利用面积法建立关系来解决问题，

下面举例说明.

在直角坐标系中，A（a，b），B（c，d）（c>a>0，d>b>0）

（1）如图1，点C（x，y）在线段AB上，探求A，B，C三点坐标关系;

（2）如图2，AB和x轴交点为M（x，0），探求A，B，M三点坐标关系;

（3）如图3，AB和y轴交点为N（0，y），探求A，B，N三点坐标关系.

解析 （1）如图1，过A，B，C分别作x轴垂线，垂足分别为D，F，E，由S梯形ADFB=S梯形ADEC+S梯形CEFB可得12（b+d）（c-a）=12（b+y）（x-a）+12（d+y）（c-x），化简整理得：bc+ay+dx=ad+cy+bx;

（2）如图2，过A，B分别作x轴垂线，垂足分别为D，F，由S△MBF=S梯形ADFB+S△AMD可得12（c-x）d=12（b+d）（c-a）+12（a-x）b，化简整理得：ad+bx=bc+dx;

（3）如图3，过A，B分别作x轴垂线，垂足分别为D，F，由S梯形NOFB=S梯形NODA+S梯形ADFB，可得12（y+d）c=12（y+b）a+12（b+d）（c-a），化简整理得：ad+cy=bc+ay.

当共线三点所处位置不同，我们类似构图，通过面积建立三点坐标之间关系，我们不妨将其称为“三点一线面积法”模型，下面例析其应用.

（1）直接应用

例1 如图4，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（5，1），C（4，4），把△ABC先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到△DEF（其中A与D，B与E，C与F是对应点）.

（1）画出△DEF;

（2）设DF与横坐标都是-74的直线交于点R，求点R坐标.图4

解析 （1）画图如图4，D（-2，2），F（1，5）;

（2）过D，R，F分别作x轴垂线，垂足分别为M，N，P，设R（-74，y），由“三点一线面积法”模型可以得到：

12（2+5）×3=12（-1.75+2）（2+y）+12（1+1.75）（5+y），解得y=94，所以点R的坐标为（-74，94）.

（2）叠合应用

例2 如图5，在直角坐标系中，A（-2，0），B（-1，2），C（1，0），连接AB，点D为AB的中点，连接OB交CD于点E，求四边形DAOE的面积.图5

解析 过D，B，E分别作x轴垂线，垂足分别为M，N，P，设E（x，y），由“三点一线面积法”模型，B，E，O在一条线上得y+2x=0，D，E，C在一条线上得5y+2x=2，联立y+2x=0和5y+2x=2，得E（-0.25，0.5），可求四边形DAOE的面积为1.25.

（3）構造应用

例3 在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），C（0，6），D（8，0），点P为线段CD上一点，设P（m，n），且有a+2b+m=0，2a+b+m=-5.

（1）如图6，若S△ABP<10，求m的取值范围;

（2）如图7，若a<0，b>0，点B沿y轴方向平移至M，使AM∥CD，若S△ABM=12S△CBD，

求点M的坐标.

解析 （1）过P作x轴垂线，垂足为E，又C，P，D在一条线上，由“三点一线面积法”模型得：3m+4n=24，由条件可得：a=-10-m3，b=5-m3，由

S△ABP=12（5-m3--10-m3）（6-34m）<10，解得m>83.

因为P在CD上，所以m<8，综合知83

（2）将CD平移至AE，由条件知点M在AE上，过E作x轴垂线，垂足为点F，由条件得a=b-5，S△CBD=12（8-b）×6=24-3b，又因为S△ABM=12S△CBD，所以BM=24-3b5，由条件进一步得到A（b-5，0），E（3+b，-6），M（b，24-3b5），因为A，E，M共线，由“三点一线面积法”模型得b=74，所以M（74，-154）.

（4）灵活应用

例4 如图8，在平面直角坐标系中，A（4，3），B（3，1），C（1，2）.

（1）若点P（m，0）为x轴上一动点，S△PAB>S△ABC，求m的取值范围;

（2）根据“两点之间线段最短”，我们知道，在△ABC中，AB+AC>BC，由不等式性质知AC>BC-AB，即三角形中任意一边大于另外两边之差，由上面提示，在x轴上找一点M，使AM-BM最长.

解析 （1）延长AB交x轴于点M，可

求S△ABC=52，又A，B，M共线，由“三

点一线面积法”模型得M（52，0），因为

S△PAB>S△ABC，所以1252-m（3-1）>52，

解得m<0或m>5;

（2）根据提示，延长AB交x轴于一点，即为所求点M，所以M（52，0）.