廖延娜, 冯宇森

(西安邮电大学 理学院， 陕西 西安 710121)

量子纠缠是指当几个粒子彼此相互作用后，各个粒子所拥有的特性已经综合成为整体性质，只能描述整体系统的性质，无法单独描述各个粒子的性质。处于纠缠态的两个量子，在未对其进行测量时，其状态不能确定；当对其中的一个量子位进行测量后，无须测量即可获得另一个量子的状态[1]。量子之间纠缠态的性质被广泛应用于量子密集编码[2]、量子安全直接通信[3-4]和量子计算[5-7]等领域。

量子纠缠的一个典型应用是量子远程制备[8-11]。量子远程制备是指通过建立量子纠缠和经典信息传递，在远处制备本地已知量子态(称为初态)的过程[10]。通过量子远程制备可以实现信息的远程安全传输。

双向远程制备协议(bidirectional remote state preparation, BRSP)[12]的提出引起了广泛的关注。目前量子远程状态制备的研究中，较多是双向制备单粒子态[13-16]，以及控制量子远程制备和量子隐形传态单粒子态的双向混合[17-18]，其中以6粒子和7粒子的纠缠信道方案最为典型。这些方案传送的粒子较少，双向制备单粒子态的传送效率为14.28%～18.75%，传送效率较低。

为了安全传递更多信息，改进的双向制备方案被陆续提出。如不对称双向制备单粒子态和二粒子态[19]、不对称双向制备单粒子态和四粒子态[20]等方案，这些方案传送的粒子较多，传送效率为13.04%～18.75%，但是信道复杂、经典资源消耗较多；双向制备三粒子态[21]方案的制备成功概率一般只有1/4左右。双向远程制备任意两粒子态是目前量子远程制备的一个关注点。文献[22]提出了一种双向受控远程制备任意两粒子态方案，其传送效率为18.18%。但是该方案采用13量子位的纠缠信道，信道复杂度较高，实现难度较大。

为了提高传送效率，降低量子纠缠信道的复杂度，减少远程制备过程中经典资源的消耗，受文献[23]和[24]的启发，本文拟构造一个由4个Bell信道纠缠构成的特殊纠缠信道，Alice和Bob通过选择合适的测量基，对量子位进行投影测量，把测量结果分别发送给对方，通过对测量结果进行适当的幺正变换来制备初态。

1 实系数双向两粒子态远程制备

假设Alice想要帮助接收者Bob远程制备一个两量子位状态

|ψ(1)〉A=a0|00〉+a1|01〉+a2|10〉+a3|11〉。

同时，Bob希望在Alice的地点制备另一个两量子位状态

|ψ(1)〉B=b0|00〉+b1|01〉+b2|10〉+b3|11〉。

在Alice和Bob之间构造一个由4个Bell信道纠缠构成的纠缠信道|φ〉12345678，Alice持有量子位(1,3,5,7)，Bob持有量子位(2,4,6,8)。该8粒子纠缠信道可以表示为

整理得到

接下来Alice和Bob将进行双向对称远程制备。

1.1 投影测量

Alice对粒子(1,3)位、Bob对粒子(6,8)位分别进行投影测量[24]。Alice对粒子(1,3)位进行投影测量时，选择的测量基|δs〉(s=1,2,3,4)分别为

|δ〉1=a0|00〉+a1|01〉+a2|10〉+a3|11〉， |δ〉2=-a3|00〉+a2|01〉-a1|10〉+a0|11〉， |δ〉3=a2|00〉+a3|01〉-a0|10〉-a1|11〉， |δ〉4=a1|00〉-a0|01〉-a3|10〉+a2|11〉。

Bob对粒子位(6,8)进行投影测量时，所选择的测量基|σj〉(j=1,2,3,4)分别为

|σ〉1=b0|00〉+b1|01〉+b2|10〉+b3|11〉， |σ〉2=b1|00〉-b0|01〉+b3|10〉-b2|11〉， |σ〉3=b2|00〉-b3|01〉-b0|10〉+b1|11〉， |σ〉4=b3|00〉+b2|01〉-b1|10〉-b0|11〉。

投影测量的结果为塌缩态

|Ys,j〉2457=13〈δs|68〈σj||φ〉13245768。

(1)

投影测量的结果共有N1种，N1的表达式为

N1=|{(δs,σj):s,j=1,2,3,4}|=16。

1.2 测量结果的幺正变换

测量结束后，Alice和Bob把他们各自的测量结果分别发送给对方，然后Alice和Bob对收到的测量结果进行一个相应的幺正变换，即量子门变换[25]，将测量结果变为初态，实现双向远程制备成功。

投影测量时Alice和Bob每人分别得到了4种测量结果。因为远程制备双向同时进行，所以整个双向远程制备共有16种测量结果，对应了16种不同的幺正变换，如表1所示。

表1 Alice、Bob的测量基以及相应的幺正变换操作

在表中I、Z和X分别表示对相应量子位进行I门、Z门和X门变换。如I57表示对量子位(5,7)进行一个I门的变换。

以Alice选择测量基|δ1〉、Bob选择测量基|σ1〉为例，来说明投影测量及幺正变换的计算过程。当Alice选择测量基|δ1〉对量子位(1,3)进行投影测量，同时Bob选择测量基|σ1〉对量子位(6,8)进行投影测量时，由式(1)可得测量结果为

测量结束后，Alice和Bob把他们的测量结果分别发送给对方，Alice对量子位(5,7)使用I门变换，可以成功得到状态|ψ(1)〉B；Bob对量子位(2,4)使用I门变换，可以成功得到状态|ψ(1)〉A，双向远程制备完成。

由表1可知在16种测量结果中，Alice的4种测量结果和Bob的4种测量结果每个出现了4次，所以只需要分别计算验证Alice和Bob的这4种幺正变换即可。对16种测量结果进行表中相应的幺正变换，每一种测量结果都能还原回初态，说明双向远程制备的成功概率为100%。

2 复系数双向两粒子态远程制备

在量子态|ψ(1)〉A和|ψ(1)〉B的基础上增加相位因子，即Alice想要在Bob处远程制备|ψ(2)〉A，其表达式为

|ψ(2)〉A=a0eiλ0|00〉+a1eiλ1|01〉+a2eiλ2|10〉+a3eiλ3|11〉。

由于a0、a1、a2、a3和λ均为Alice已知的实数，且|eiλ|2=1，则a0eiλ0、a1eiλ1、a2eiλ2和a3eiλ3为满足归一化条件的任意复系数。

同时，Bob希望帮助Alice来远程制备|ψ(2)〉B，其表达式为

|ψ(2)〉B=b0eiφ0|00〉+b1eiφ1|01〉+b2eiφ2|10〉+b3eiφ3|11〉。

由于b0、b1、b2、b3和φ均为Bob已知的实数，且|eiφ|2=1，则b0eiφ0、b1eiφ1、b2eiφ2和b3eiφ3、为满足归一化条件的任意复系数。

在复系数情况下，假设在双方共享的4个Bell信道中，Alice和Bob分别引入两个辅助粒子(A1,A2)和(B1,B2)，则粒子A1、A2、B1、B2可分别表示为|0〉A1、|0〉A2、|0〉B1、|0〉B2。Alice持有量子位(1,3,5,7,A1,A2)，Bob持有量子位(2,4,6,8,B1,B2)。其中，粒子(1,3,6,8)为控制量子位，辅助粒子(A1,A2,B1,B2)为目标量子位。则引入辅助粒子的量子信道可表示为

(2)

Alice和Bob分别对粒子(1,A1)、(3,A2)和(6,B1)、(8,B2)执行C- NOT操作，则量子信道变为

为了双向远程制备，Alice和Bob需要选择适当的测量基来进行投影测量。

2.1 投影测量

其中，

其中，

投影测量的结果为塌缩态

(3)

投影测量的结果共有N2种，其表达式为

2.2 测量结果的幺正变换

测量结束后，Alice和Bob分别把他们的测量结果分别发送给对方，然后Alice和Bob对获得的测量结果进行一个合适的幺正变换，将测量结果变为初态，实现双向远程制备。

Alice和Bob分别选择两组正交测量基对自己的粒子进行投影测量，每人可以得到16种测量结果。由于双向远程制备同时进行，所以整个双向远程制备共有256种测量结果，对应了256种不同的幺正变换。

表2 Alice、Bob的测量基以及相应的幺正变换

由式(3)可得测量结果|Ts,l,j,k〉为

测量结束后，Alice和Bob把他们的测量结果分别发送给对方，Alice对量子位(5,7)使用I门变换，得到状态|ψ(2)〉B，Bob对量子位(2,4)使用I门变换，得到状态|ψ(2)〉A，则双向远程制备完成。

由于双向远程制备共有256种测量结果，相对应的就有256种幺正变换来制备初态。在256种测量结果中，Alice的16种测量结果和Bob的16种测量结果每个出现了16次，所以只需要分别计算验证Alice和Bob的这16种幺正变换，就可以验证本方案256种测量结果的每一种都能还原回初态，即双向远程制备的成功概率为100%。

3 传送效率分析

信息传送效率[26]是量子远程制备方案的重要指标，其计算公式为

其中，qp表示由待制备的量子信息组成的量子位元数；qc表示用作量子信道的量子位元数，为通道中使用的量子位数加上辅助量子位数；xt表示传输的经典位元数。

本方案的待制备量子信息组成量子位元数qp为4，用作量子信道的量子位元数qc为12，xt传输的经典位元数xt为8，传送效率为20%，高于文献[18-20,22,24]的传送效率。这是由于本方案传送粒子较多，同时优化了信道，消耗的经典资源少，因此提高了传送效率。

4 结语

提出了一个利用4个Bell纠缠态构成的信道双向远程制备任意两粒子态方案。初态为实系数时，Alice和Bob分别利用与量子信道相匹配的正交测量基投影测量；初态为复系数时，Alice和Bob分别引入一个辅助粒子，利用实数测量基进行投影测量后，分别使用与信道和实数测量基相匹配的复数测量基对辅助粒子进行投影测量。Alice(Bob)对自己的量子位进行投影测量后，将投影测量的结果发送给对方，Bob(Alice)对所得到的塌缩态进行幺正变换，即可成功得到初态，实现Alice和Bob之间的任意两粒子态的双向对称远程制备。对比双向单粒子态的远程制备、单粒子态和两粒子态双向不对称远程制备、单向联合两粒子态远程制备等方案，本方案增加了传送的粒子态数量和信息传送量，实现了成功率达到100%、传送效率为20%的双向远程制备。