王富帅 陈正昊 孙琦

摘 要：根据朗之万方程，通过对朗之万方程的数值推导，得到单个布朗粒子布朗运动下的位移方程，位移方程可以反推至爱因斯坦平均差位移方程。本文利用位移方程写出数值模拟下的布朗运动的轨迹。通过Matlab软件编程，得到了布朗运动随机轨迹三维图。

关键词：布朗运动;朗之万方程;Matlab模拟仿真

2.2 软件模拟

为了便于模拟我们不妨令步长Δt=1，无单位，仅仅是作为数学处理的单位。ψ（0，）是平均值为0，方差为的正态分布，若仅仅考虑单个粒子，可以考虑为符合正态分布一组数据中的一个。我们可以使用Matlab軟件中的normrnd函数来产生一个随机正态分布数组。由于所取得的正态分布数为随机数，因此使用Matlab软件得到的轨迹每次都不一样，这也正好反映了布朗运动的随机性。

2.3 主程序

以迭代1000次的程序为例：

a=500;n=1.003;T=300;

k=1.380649e-23;r=6*pi*a*n;

D=k*T/r;d=sqrt（2.*D）;

a=normrnd（0，d，[1 1000]）;

b=normrnd（0，d，[1 1000]）;

c=normrnd（0，d，[1 1000]）;

x=[];y=[];z=[];o=0;p=0;q=0;

for i=1：1000

{o=o+a（1，i）;p=p+b（1，i）;q=q+c（1，i）;

x（1，i）=o;y（1，i）=p;z（1，i）=q;}

end

plot3（x，y，z）

3 结论

通过对朗之万函数的数值化处理，我们得到了具有统计学规律的位移函数，导出了位移关系式，并且，经过推导可以得到爱因斯坦的平均矢量位移关系式，并且得出布朗粒子布朗运动的轨迹是一个具有一定统计学规律的随机方程。然后利用Matlab软件进行编译，通过已推导出的关系式，模拟布朗运动的轨迹，将其轨迹画出。

参考文献：

[1]Einstein A.Investigations on the Theory of the Brownian Movement[M].New York：Dover Pulieation Inc，1956.

[2]Smoluchowski M von.Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen[J].Annalen der Physik，1906，326（14）：756-780.

[3]Langevin P.Sur la théorie du mouvement brownien[J].CR Acad Sci Paris，1908，146：530-533.