王鑫

(海南大学信息科学技术学院, 海南海口570228)

1 引言

寻求非线性偏微分方程的精确解一直是解决和研究非线性问题的关键.近年来, 精确解的求法不断涌现, 如Backlund 变换法、Hirota 变换法、变量分离法、反散射变换法等.最近,王明亮等提出的(G) 展开法[1−3], 即假设非线性偏微分方程的行波解可用() 的多项式来表示, 且G满足一类二阶线性常微分方程, 由此得到一个代数方程组, 将求解微分方程的问题转化为求此代数方程组的解.此方法不需要任何初始或边界条件, 可以简洁、有效地求解非线性偏微分方程.目前, 在此方法的基础上, 出现了许多扩展和改进, 这些改进主要是从将(G) 展开法的正幂展开推广到正负幂展开[4]; 改变(G) 的展开形式[5−7]; 改变函数G满足的方程[8−10]等方面进行了延伸.本文也是以(G) 展开法的基本思想为依据,是将其展开形式改进为的形式, 并首次尝试将函数G满足的常系数方程改进为一类二阶变系数的非线性方程, 以Burgers-KPP 方程为例进行了求解, 得到了该方程的多个显式行波解.

Burgers-Kolmogorov-Petrovskii-Piscounov 方程

其中α,β,λ,γ,δ均为常数.该类方程是既包含耗散作用又包含频散作用的非线性演化方程,它广泛应用于流体力学、热传导、理论物理等领域.当(α,β,λ,γ,δ) 取不同参数时, 它囊括着许多著名的方程.例如广义KPP 方程, Huxley 方程, 广义Fisher 方程, Burgers-Fisher 方程, Fitzhugh-Nagumo 方程, Newell-Whitehead 方程等.文献[11]用Cole-Hopf 变换法得到了该方程的孤子解, 并对解的渐进性质进行了论证; 通过tanh 函数展开法, 该方程的单孤波解和周期波解由文献[12]得到; 文献[13]通……