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桌上的硬币

2019-11-16

学生导报·东方少年 2019年18期
关键词:桌面上圆心尺度

在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。这些硬币中可能有一些不完全在桌面内,也可能有一些彼此重叠;当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时,新放的硬幣便必定与原先某些硬币重叠。请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖。

要想让新放的硬币不与原先的硬币重叠,两个硬币的圆心距必须大于直径。也就是说,对于桌面上任意一点,到最近的圆心的距离都小于2。所以,整个桌面可以用n个半径为2的硬币覆盖。

把桌面和硬币的尺度都缩小一倍,那么,长、宽各是原桌面一半的小桌面,就可以用n个半径为1的硬币覆盖。把原来的桌子分割成相等的4个小桌子,那么每个小桌子都可以用n个半径为1的硬币覆盖。因此,整个桌面就可以用4n个半径为1的硬币覆盖。

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